* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРИИ 209 Вместо операции 3, которая представляет собой выбор о п р е ­ д е л е н н о й точки, иногда оказывается необходимым пользоваться операцией За. Выбор ^произвольной^ точки и добавление ее к имеющейся совокупности. • Спедует уточнить здесь употребление слова «произвольный». По определению это означает, что точку можно «произвольно» выбирать либо на некотором отрезке прямой, либо на дуге окружности, либо же в части плоскости, ограниченной отрезками или дугами, и, возможно, уходящей в бесконечность. При этом все фигурирующие прямые и окружности должны быть построены на данном шаге, а концы отрезков и дуг должны быть точками имеющейся совокупное ги. Можно считать, конечно, что «произвольная» точка не должна ле­ жать на концах отрезков и дуг или на границе упомянутой части плоскости. Построением с помощью циркуля и линейки называется после­ довательность, состоящая из конечного числа описанных шагов. Еще раз подчеркнем, что при таком определении часть реального геометрического содержания данной задачи может остаться в сто­ роне. Например, останется в стороне вопрос о сведении данной задачи и желаемого ответа к построению конечного числ J точек и о выборе из построенной совокупности точек, необходимых для окончательного решения задачи; останется в стороне также выясне­ ние вопросов типа: какие из построенных точек являются смежными вершинами в искомом многоугольнике, и т. п. Эти вопросы относятся скорее к «анализу построения», а не к решению проблемы о выпол­ нимости требуемого построения. Итак, пусть задана некоторая конечная совокупность точек на плоскости; мы считаем, что точку А можно построить (с помощью циркуля и линейки), если существует такое построение, что (неза­ висимо от промежуточных «произвольных» выборов точек!} система точек, полученная в результате этого построения, содержит точку 4. Задачу на построение мы считаем разрешимой, если совокупность точек, которые следует найти для решения этой задачи, состоит только из таких точек, которые можно построить с помощью циркуля н линейки. Теперь мы можем сформулировать и «основной вопрос теории построений с помощью циркуля и линейки». Мано конечное число точек на плоскости. Какие точки можно построить, исходя из них? Мы уже упоминали, что имеется точный ответ на этот вопрос (т. е. условия, необходимые и достаточные для возможности по­ строения точки); существенную роль играет тчкже частичный ответ, указывающий необходимые условия для того, чтобы точк) можно было построить. 14 Энциклопедия, кн 1