* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

208 О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ ИА ПОСТРОЕНИЕ Теперь ответ на вопрос 6) напрашивается сам собой: в качестве первоначальных данных у нас также должна иметься конечная сово­ купность точек на плоскости. В самом деле, для задания угла до­ статочно задать его вершину и две точки на сторонах; для задания окружности достаточно задать три ее точки или центр и одну точ­ ку; для задания квадрата достаточно задать его вершины и т. п . ' ) . Итак, мы принимаем следующий ответ на вопрос б): исходными данными любой задачи на построение является система конечного числа точек иа плоскости. 1.2. Построения циркулем и линейкой. Перейдем теперь к воп­ росу в). Ответ на этот вопрос заключается в самом названии статьи: построение должно осуществляться с помощью циркуля и линейки. Следует лишь уточнить, что мы имеем право делать с помощью циркуля и линейки. Удобно описать процесс построения индуктивно. Мы начинаем с конечного числа точек на плоскости и хотим получить конечное число точек на плоскости; процесс построения состоит в том, что к уже имеющейся системе точек мы добавляем по известным пра­ вилам еще некоторые, а затем отбираем среди всех получившихся точек те, которые доставляют решение нашей задачи. Вторая часть, конечно, определяется спецификой задачи; нас интересует сейчас, по каким правилам д о б а в л я ю т с я точки. Назовем шагом построения добавление одной новой точки к уже имеющимся. Отыскание этой новой точки производится в результате проведения некоторых операций; по определению, в построе­ нии циркулем и линейкой шаг может состоять только из следующих операций (причем операции 1 и 2 могут применяться несколько раз, а операция 3—один раз). 1. Проведение прямой через пару точек имеющейся совокупно­ сти. (Эта совокупность является результатом предыдущего шага или представляет собой первоначально заданную систему точек.) 2. Проведение окружности с центром в одной из точек имеющейся совокупности и проходящей через некоторую другую точку этой совокупности. (Такие прямые и окружности мы назовем построенными на б а з е имеющейся совокупности точек.) 3. Выбор одной точки пересечения построенных прямых и окружностей между собой и добавление этой точки к имеющейся совокупности. ') Если в качестве данных может быть указано бесконечно много точек, не сводящихся к точкам конечной совокупности прямых и окружностей, это резко расширяет область разрешимых задач. Например, задание кри­ вой, являющейся графиком функции у = х (и д а ж е любой ее дуги), позволит затем с помощью циркуля и линейки решить задачу об удвое­ ния куба. ь