* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ 185 4°. И с с л е д о в а н и е , в результате которого выясняется, в ка­ ких случаях решение задачи возможно и какое число решений задача может иметь в зависимости от заданных элементов (их числа, взаимного расположения, величин и т. д . ) ) . Более подробно мы рассмотрим эти этапы на некоторых из при­ веденных ниже примеров. 4.3. Алгебраический метод. Условие задачи на построение может быть выражено аналитически, если исходить из соотношений между искомыми и данными элементами. Пусть, например, дана задача: построить квадрат, площадь которого в три раза больше плошади данного квадрата. Обозначив сторону искомого квадрата через х, а сторону данного через д, получим уравнение 1 х = За ; его решение х= 2 2 а\Гз (отрицательное значение корня уравнения не удовлетворяет условию задачи) дает аналитическое выражение искомого отрезка. Аналитическое выражение задачи на построение в виде уравне­ ния, а его решения в виде корня этого уравнения помогает найти геометрическое решение, определить, с помощью каких инструментов оно может быть выполнено (иногда это сразу можно сказать по виду полученного уравнения), облегчает исследование решения ). Эти соображения получили свое полное развитие в аналитической геометрии, в которой геометрические исследования осуществляются средствами алгебры. В самом начале школьного курса геометрии выполняются постро­ ения отрезков, равных алгебраической сумме данных отрезков: 2 х = а ± b\ x = a + b—c + rf; х = За ± 2Ь и т. д. Позже рассматривается построение четвертого пропорциональ­ ного к трем данным отрезкам, выражаемого формулой _Ьс я ') В качестве примера задачи, исследование которой существенно свя­ зано с числом заданных элементов, укажем известную задачу о построении л-угольника по заданным на плоскости серединам его сторон (см., напри­ мер, И. М. Я г л о м , Геометрические преобразования, т. I , задача 13), всегда имеющую единственное решение при п нечетном и ни одного реше­ ния или бесконечно много решений при п четном. ) См. статью «О разрешимости задач на построение с помощью цир­ куля и линейкн» в этой книге ЭЭМ стр. 205—227. 2