* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

172 О Б Щ И Е ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ обозначим через D точку пересечения этой прямой с прямой I. Наконец, проведем прям ie АС и BD и обозначим через N их точку пересечения. Тогда прямая MN проходит через середину отрезка АВ. Доказательство правильности этого построения легко вытекает из рассмотрения подоб­ ных треугольников (через Р и Q обозначены точки пересечения прямой MN с прямыми / и АВ): AQ_QN_QB PC~NP~DP AQ_QM QB DP ~~ PM ~ PC' ; = Почленно перемножая поду чающиеся равенства AQ-DP = PCQB, AQ-PC=DP.QB и производя сокращение, получаем AQ =QB , т. е. AQ = QB *). З а д а ч а 3. Построшпь квадрат. Р е ш е н и е . Построим прямоугольник ABCD, вписанный в окруж­ ность L (задача 1). Так как AB\\CD, то мы можем разделить отрезки АВ и CD пополам (задача 2) Точно так ж е можно разделит., отрезки AD и ВС пополам (рис. 20). Мы получим четыре точки М, N, Р, Q, являющиеся середи­ нами сторон прямоугольника ABCD Пря­ в мые MP и NQ проходят через точку О S м \ (являющуюся центром прямоугольника • \ \ и центром окружности L) и параллельны V \ сторонам прямоугольника. Следовательно, ц\/ D O0 N Mr ^®— перпендикуляр­ N \ ные прямые, проходящие через центр окружности L . Поэтому точки E,F,G,H, / )/ \ k / в которых эти прямые пересекаются с / S J/ окружностью L , являются вершинами ч • N квадрата. N З а д а ч а 4. Дана прямая I и точка Е N , р вне ее. Провгсти через точку Е прямую, параллельную I. Решение. Построим /прямоуголь­ Рис. 20. ник ABCD (задача 1) и найдем середины М, N, Р, Q его сторон (задача 2). Далее, проведем прямые MP и NQ (рис. 21, а). Прямая / не может быть парал­ лельна всем сторонам прямоугольника ABCD. Пусть сторона АВ не параллельна прямой /. Тогда прямые АВ, NQ и CD пересекаются с прямой / в некоторых точках R, S, Т. Так как прямая NQ находится на равных расстояниях от параллельных ей прямых АВ и CD, то RS=ST. т. е. S—середина отрезка RT. Дальнейшее построение по сути дела представляет собой решение за­ дачи, обратной задаче 2. Именно, проведем прямую ТЕ (рис. 21, 6) и на ней выберем произвольную точку U. Затем проведем прямые US, UR, ER и обозначим через G точку пересечения прямых ER и US. Наконец, про­ ведем прямую TG и обозначим через F точку пересечения этой прямой с прямой UR. Тогда EF—искомая параллельная к прямой / t z \\ и две в з а и м н о ) Другое доказательство приведено на стр. 69 этой книги ЭЭМ.