* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

170 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ З а д а ч а 3. Даны окружность ее центр О и две точки А, В. Найти центр окружности, в которую переходит прямая АВ при инверсии отно­ сительно с кр у ж нести L . Р е ш е н и е . Нвйдем точку С, симметричную точке О относительно прямой АВ (задача Г». Тогда точка М, в которую переходит точка С при инверсии относительно окружности L (задача 2), является искомой. Для дока­ зательства правильности построения обозначим через D основание перпен­ дикуляра, опущенного из точки О на прямую АВ, а через Е — точку пересе­ чения прямой 0D с окружностью, в ко­ торую при инверсии переходит прямая АВ (рис. 15). Тогда имеем С _ 0M-OC=OD-OE Так как, далее, OC=20D (=r*). (по определе­ ОЕ, нию точки С), то, очевидно, 0М=— и потому М — центр окружности (ибо ОЕ диаметр). З а д а ч а 4. Даны три точки А, В, Рис. 15. С. Найти центр скружности, прохо­ дящей через эти точки. Р е ш е н и е . Проведем произвольную окружность L с центром в точке А. Обозначим через М n,V точки, в которые переходят В и С при инверсии относительно окружности L (задача 2). Тогда окружность, проходящая через точки А, В, С, перейдет при инверсии в прямую MN (рис. 16). Таким образом, нам остается найти центр окружности, в которую переходит прямая MN при инверсии относи­ тельно L (задача 3). З а д а ч а 5. Найти точку пересечения данной окружности L с данной прямой MN. Р е ш е н и е . Прежде всего заметим, что на основании задачи 4 мы можем считать центр окружности L неизвестным. Обозначим его через А. Найдем теперь целтр О окруж­ ности, в которую переходит прямая MN при инверсии относительно окружности L (зада­ ча 4). Далее проведем окружность с центром О, проходящую через точку А (т. е. окруж­ Рис. 16. ность, в которую при инверсии переходит прямая MN). Д в е точки Р, Q, в которых по­ следняя окружность пересекается с окружностью L , являются искомыми (рис. 16). З а д а ч а 6. Даны четыре точки А, В, С, D. Найти точку пересечения прямых АВ и CD. Р е ш е н и е . Проведем произвольную окружность L с центром в точке А. При инверсии относительно окружности L прямая АВ перейдет в себя, а прямая CD—в некоторую окружность L ' , проходящую через точку А; центр М этой окружности мы можем найти (задача 3). Найдем теперь точку Р (отличную от А) пересечения окружности V и прямой А В (задача 5). Тогда точка Q, в которую переходит Р при инверсии относительно