* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРИНЦИП ПЕРЕНЕСЕНИЯ 153 что ^ 0 , 0 0 = 9 0 " , т. е. точка пересечения р с прямой ОО, параллельной бис­ сектрисе внешнего угла при вершине С, (ибо ОС, — биссектриса BI.утрен­ него угла). Окончательно мы приходим к следующей теореме: прямые, соединяющие еершины треугольника А В С с точками пересечения произ­ вольной касательной р к вписанной в А В С окружности S, с проведенными через центр О окружности S, прямыми, параллельными биссектрисам внеш­ них углов при тех же вершинах треугольника пересекай тся в одной точке (рис. 99, а). Если принять за центр полярного отображения точку Р, то окружности 5 будет соответствовать парабола S, с фокусом Р, а вписан­ ному в S треугольнику ЛВС—опи­ санный около S, треугольник A B C т. е. треугольник, сторонами которо­ го являются касательные параболы. Основания опущенных из Р на стороы ВС, АС, АВ перпендикуляров пе­ рейдут в перленаикулярные к РА ЯВ, и ЯС, прямые, проходящие через вершины треугольника (заметим, что точка Р переходит в несобственную прямую). Таким образом, мы мо­ жем заключить, что три прямые, проведенные через вершины описан­ ного около параболы S, пргуголь ника А В С перпендикулярно пря­ мым, соединяющим вершины А ,В .С с фокусом Р параболы, пересекаются Рис 98. в одной точке R (рис. 99, б; отсюда. Х Л Х Л Л Л X X V и Х Х Х Х Х Х в частности, следует, что окружности с диам тром PR проходит через точки А , В, и С,, т. е. что описанная вокруг А В С окружность проходит через фокус параболы). Наконец, приняв за центр полярного тображения проиэгольную точку Q. мы придем к теореме: если J 4 , B , C , — произвольный треуголь­ ник, описанный вокруг конического сечения S, (т. е. треугольник, стороны ко­ торого являются касательными пинии S )uQK. QL, QM — прямые проведен­ ные через фокус Q кривой S, перпендикулярно QA QB uQC и пересекавшие произвольную четвертую касательную р конического сечения S в точ»ах К, L и М, то прямые А К, B L и С М пере екиются в одной то«ке (рис. 99, в). Вспомним еще т с о р е м у о с т е п е н и т о ч к и Р о т н о с и т е л ь н о о к р у ж н о с т и S, согласно которой произведение РА РВ отрезков любой проходящей через Р прямой, пересекающей окружность, постоянно (т е заеиc.iT лишь от S и от Р, но не ст секущей РА В) Приняв точку Р за центр полярного отображения, мы преобразуем эту теорему в следующую: про­ изведение расстояний от фокуса Р конического сечения S, до параллельных касательных а и Ь (параллельногп асатсльных а и Ь отвечает тому, что прямая АВ проходит чепез Р ' постоянно, т. с. зависит лишь от S,, но не от выбора кгсатсльных (рис 100) Иногда, обратно, свойства кон ческих сечений позволяют докаэ вать новые теоремы об окружностях. В качестве примера можно упомянуть здесь о так называемых фокальных свойствах конических сечений, согласно которым сумма (разность) расстояний от произвольной точки А эллипса (гиперболы) S до двух фокусов Р и Q постоянна'); в силу симме­ тричности кривой S отсю а также следует, что сумма (разность) расстоя­ ний от фокуса Р эллипса (гиперболы) до точек А и В , касательные в которых параллельны, постоянна (т. с. РА ± РВ = РА ± Qi4, = const; рис. 101, а, б). х Л Х Х x U X x x Х X Х г х х Л Х Х ') См в кн. V ЭЭМ статью о конических сечениях.