* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

134 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ следует, что прямые т л, и р пересекают окружность о в одной точке L , диаметрально противоположной точке L , ; этой точке отвечает (параллель ная /!) прямая l , которая касается окружности о в точке L н которой и принадлежат точки М Л/, и Р,. 8.4. Подерное преобразование. В качестве последнего примера неточеч­ ного преобразования плоскости мы рассмотрим так называемое подерное преобразование Л, переводящее каж­ д у ю линию плоскости в другую ли­ нию, но не сохраняющее ни точек, ни прямых, ни окружностей. Это преобразование определяется сле­ дующим довольно сложным обра­ зом. Пусть у—некоторая кривая па плоскости; с каждой точкой А кри­ вой у сопоставим основание А' перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки О ( ц е н т р а подерного преобразования Л) на касательную а, проведенную к кри­ вой у в точке А '); когда точка А пробегает линию у, соответствующая ей точка А' пробегает новую линию Рнс. 75. у', которая и считается образом линии V Р преобразовании А (рис. 75). Нетрудно понять, что прямая а переводится подерным преобразованием в одну точку А—основание пер­ пендикуляра, опущенного из О на прямую а (рис. 76); точка же А, рас­ сматриваемая как пучок прямых (которые все играют роль «касательных» к точке), переходит в окружность 2, построенную иа отрезке OA, как на диаметре (рис. 77). Окружность с центром О подерное преобразование А и х t и П И А у о О h Рис. 76. Рис. 77. переводит в себя; если же центр окружности 2 отличен от точки О, то преобразование А переводит 2 в довольно сложную кривую, называемую у л и т к о й П а с к а л я (рис. 78, а—в; изображенная на рис. 7Ь, б «серд­ цевидная» улитка Паскаля называется кардиоидой). Улитки Паскаля — очень интересные криные; они могут быть определены (даже несколькими спосо­ бами) и независимо от подерного преобразования. ') К а с а т е л ь н о й к кривой у в ее точке А, как обычно, называется предельное положение секущей АВ, к которому стремится секущая, когда точка В кривой у стремится к А (см. статью «Производные, интегралы и ряды», кн. I I I ЭЭМ, стр. 305).