* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

132 TFOMFTPHMECKHE ПРЕОБРАЗОВАНИЯ C'C'u т. е. ТТ(К) = С'С,. Аналогично ПЩ = А'А' П (Ж) Поэтому для доказательства того, что точки К, Z., М лежат на одной прямой, достаточно установить, что прямые А'А\^ В'В\ С'С\ пересекаются в одной точке. Но из параллельности прямых а и с,, Ъ и b с и с вытекает, что либо треугольники А'В'С' и А\В\С равны и получаются друг из друга параллельным переносом (рис. 72,6), и тогда прямые А'А' В'В , C ' d параллельны между собой, т. е. пересекаются в одной несобственной точке, либо треугольники А 'В' С' и А\В\С гомотетичны, и тогда прямые А'А'г, В'В' L'Cy так­ же пересекаются в одной точке — центре гомотетии (рис. 72, в). Следовательно, в любом случае точки К, L , М лежат на одной прямой. Заметим, что одна из точек A, L , М или даже вся пря­ мая KLM может оказаться несобственной (рис. 72, г, д). Теорема Дезарга явля­ ется типичной теоремой проективной геометрии; сле­ довательно, к ней применим принцип двойственности. Эта *^ теорема утверждает, что если два треугольника ABC Л_ и А В С таковы, что пря­ мые Л Л ВВ и СС пересе­ каются в одной точке О, то точки пересечения соот­ Рис. 73. ветствующих сторон а и а , Ь и h с и с двух треугольников лежат на ос ной прямой (рис. 73, а). Заменим теперь в формулировке этой теоремы слово «точка» словом «прямая» и наоборот, в соответствии с принципом двойственности. Мы получим следующее утверждение: если два ътрехсторонника» abc и о, Ь с таковы, что точки а-а (точка пересечения прямых а и а ), b-b и с*с принадлежат одной пря­ мой о, то прямые, соединяющие соответствующие вершины трехсторднников, пересекаются в одной точке. Рис. 73, б, выра­ жающий эту теорему, не отличается от рис. 73, а, выражающего теорему Дезарга, но само содержание теоремы изменилось—условие ее заменилось заключением, и наоборот. Таким образом, мы пришли к теореме, о б р а т н о й первоначально сформулированной нами и У v х г и г А и Х Х Х 1? Х Х х v х х х х х х x х