* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

126 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ одна от другой направлением (направление на рисунках обычно обозна­ чается стрелкой). Прямые с, и а расширение Р переводит в р а з н ы е прямые а, и а , сдвигая каждую прямую на расстояние d в п р а в о (если смотреть в направлении, указанном на преобразуемой прямой; см. рис. 68). Таким образом, расширение Р приходится рассматривать не как преобразо­ вание в множестве обыкновенных прямых плоскости, а как п р е о б р а ­ з о в а н и е в м н о ж е с т в е н а п р а в л е н н ы х п р я м ы х ( о с е й ) . Ана­ логично обстоит дело и при рассмотрении более общих осевых круговых преобразований, с чем и с в я з а н о прилагательное «осевые» в названии этих преобразований. % 2 Нетрудно понять, что пучок прямых расширение Р переводит в сово­ купность касательных окружности X с центром в центре пучка и ра­ диусом d (pi.с. 69, а); этой окружности естественно приписать определенное направление, согласованное с напра­ влением всех ее касательных (на ри­ сунках направление окружности также указывается поставленной на окруж­ ности стрелкой). Таким образом, есте­ ственно считать, что расширение на величину d переводит точки в окруж­ ности радиуса d. Направленную окруж­ ность 2 на плоскости (задаваемую сово­ купностью своих направленных каса­ тельных) расширение Р переводит в концентрическую с £ окружность £', радиус которой равен r-f-d, или г—d, или d — г (рис. 69, 6—г). Оказывается очень удобным считать, что радиус Рис. 68. окружности может быть и положитель­ ным и отрицательным, причем первое означает, что окружность направлена против часовой стрелки, а второе — что она направлена по часовой стрелке; при этом направленная окруж­ ность полностью определится указанием своего центра и (положительного или отрицательного.') радиуса. При таком соглашении расширение перенодит окружность радиуса г в окружность радиуса r + d (см. рис. 69, 6—г; отрицательный радиус имеют окружности £ и £ ' на рис. 69, в и окруж­ ность £ на рис. 69, г). Таким образом, расширение Р можно описать как преобразование в множестве направлзнных прямых плоскости, сдвигающее каждую прямую вправо на расстояние d. При этом множество всех прямых, касающихся одной направленной окружности £ (роль которой может играть и «окружность нулевого радиуса», так что мы имеем пучок схо­ дящихся в одной точке прямых), переходит в множество прямых, ка­ сающихся одной окружности £ ' , т. е. окружность переходит в окруж­ ность. Но можно также описать расширение и как преобразование в мно­ жестве направленных о ружностей, переводящее окружность (положительного, нулевого или отрицательного!) радиуса г в концентрическую с исходной окружность радиуса r + d. Это преобразование переводит совокупность всех окружностей, касающихся одной направленной прямой /, в совокуп­ ность окружностей, касающихся другой прямой /', т. е. прямую оно переводит в прямую. Однако, как т о ч е ч н о е преобразование рассматри­ вать расширение невозможно! Неточечные преобразования плоскости также довольно часто могут оказаться полезными для решения конкретных геометрических задач на построение и на доказательство В качестве первого примера рассмот­ рим здесь известную задачу о построении общих касательных к овум окруж-