* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГруППА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 119 в том случае, когда эти отображения взаимно однозначны (т. е. когда из формул (20) можно также по x x , jc„ определить х х , г, с точностью до общего множителя), они являются п р о е к т и в н ы м и п р е о б р а з о в а ­ н и я м и . Доказательство этого почти не отличается от доказательства того, что линейные преобразования обычной плоскости являются аффинными преобразованиями (ср. выше, стр. 76 и след.). Оно использует лишь то обстоятельство, что каждая прямая проективной плоскости в однородных координатах записывается л и н е й н ы м уравнением j( v и 2 Лх. + Ле. + С ж . - О ; так, прямая Ах + Ву + С = 0 или у= - Л - х - ~ (21) (21а) А с угловым коэффициентом k——— в однородных координатах (18) запи­ сывается урарнением (21) (ему удовлетворяет также «бесконечно удален ная» точка (х,, х , 0) = (В, — А 0), через которую «проходит» прямая (21а)), а «бесконечно удаленная» прямая проективной плоскости записывается простым уравнением x —0. М< жно доказать, что и, обратно, каждое про­ ективное преобразование (проективной) плоскости в однородных координа­ тах записыесется формулами типа (20). 7.6. Бирациональные преобразования проективной плоскости. Идя даль­ ше по пути, намеченному в конце § 3 можно также определить б и р а ­ циональные преобразования проективной плоскости; эти преобразования характеризуются тем, что фигурирующие в их аналитической записи (19) функции Ф О геометрическом смысле линейных (проективных) преобразований мы уже говорили Примером квадратичного преобразования может служить ин­ версия (7) или гиперболическая инверсия (8) В однородных координатах можно эти два последних преобразования записать так: 2 f t 2 t l9 2 и 2 (22) ) Степени функций <р, *ф, х могут быть различными так как необ­ ходимо, чтобы при умножении координат х,, х , А , на л юс ой множитель а все функции умножались н а о д и н и т о т ж е множитель т ( = т ' о)). 2 1 н е