* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППА 1 ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 117 прямых А'В' и C D * ) ) имеем OA' _0М ON' ОС ON'~OD' ОВ'~ОМ' Перемножая эти два равенства, получаем OA' ОС' OB'~~OD'' откуда вытекает, что А'С \\ B'D*. Следовательно, точка R пересечения прямых АС и BD рис. 61,а переходит в «бесконечно удаленную» точку рис. 61,6 и, значит принадлежит «прямой 9» нашей гомологии —прямой PQ ] 7.4. Проективные преобразования и проективная геометрия. Го­ мология представляет с о б о й частный случай проективного преобразо­ вания — т а к называют преобразования проективной плоскости, обладающие тем свойством, что каждую прямую (к числу кото­ рых причисляется и несобственная прямая) они переводят снова в прямую*). Таким о б р а з о м , о п р е д е л е н и е проективных преобразований отличается от о п р е д е л е н и я аффинных преобразований лишь т е м , что их областью д е й с т в и я является не обычная (евклидова), а п р о е к ­ т и в н а я п л о с к о с т ь ) . Ясно, что совокупность всех проективных преобразований (проективной!) плоскости составляет группу — д о ­ казательство э т о г о фактически не отличается о т указанного на с т р . 103 д о к а з а т е л ь с т в а т о г о , что о б р а з у ю т группу аффинные преобразования. Ветвь г е о м е т р и и , и з у ч а ю щ а я свойства ф и г у р , сохраняющиеся при 1 проективных преобразованиях, называется проективной геометрией. Примерами теорем проективной геометрии могут с л у ж и т ь теоремы, доказанные нами с помощью г о м о л о г и и — н е т р у д н о понять, что утверж­ дения этих теорем сохраняют свое с о д е р ж а н и е , если п о д в е р г н у т ь чертеж теоремы произвольному проективному преобразованию. На этом о б с т о я т е л ь с т в е и базировалось выше применение гомологии к д о к а ­ зательству теорем. Преобразовав ч е р т е ж теоремы при помощи п о д х о д я щ и м образом подобранной гомологии, мы с у щ е с т в е н н о упро­ стим е г о , с в е д я тем самым рассматриваемую т е о р е м у к б о л е е про­ стому частному с л у ч а ю того ж е у т в е р ж д е н и я , причем нам, оказы­ вается, д о с т а т о ч н о д о к а з а т ь у т в е р ж д е н и е лишь в этом частном с л у ч а е . 7.5. Координаты в проективной плоскости. Поскольку проективная плоскость яиляется совсем иным геометрическим образом, чем обычная (евклидова) плоскость, то для проективной плоскости оказывается непрн') Предоставляем читателю самому разобрать случай, когда А'В'\\С'1У (рис. 61 .в). *) Можно доказать, что всякое проективное преобразование плоскости можно осуществить с помощью подходящим образом подобранной гомологии, сопровождаемой некоторым преобразованием подобия (ср со сказанным на стр 93 о б аффинных преобразованиях) ) По поводу понятия проективной плоскости можно повторить почти все, сказанное выше (стр. 58—59) о понятии круговой плоскости 3