* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППА ПРОЕКТИВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 113 прямые о и q (а также и все параллельные им прямые); при атом естественно считать, что T ( Z ) = Z . Плоскость, дополненная фиктивной «бесконечно удаленной» пря­ мой q\ состоящей из всех добавленных к плоскости «несобственных» точек, называется проективной плоскостью ). Заметим, что каж­ дой точке проективной плоскости отвечает пучок сходящихся в ней прямых, пересекающихся в этой точке, если точка «собственная», и параллельных между собой, если эта точка «несобственная» (рис. 58). Отметим еще, что на проективной плоскости любые две различные прямые имеют ровно одну точку пересечения (собствен­ ную или несобственную). После такого расширения плоскости введением «несобственных» точек гомология становится п р е о б р а з о в а н и е м , областью действия которого является проектив­ ная плоскость. Точки пря­ мой q переходят при гомоло­ гии Г в «бесконечно удален­ ные» точки (т. е. r{q) = q')\ аналогично каждая «беско­ нечно удаленная» точка И (задаваемая, скажем, пучком параллельных прямых) пере­ ходит в некоторую точку В прямой q (т. е. Г{q') = q ). ^Разумеется, и произведение гомологий, взятых в любом числе, и преобразование, обратное гомо­ логии, являются преобразованиями проективной плоскости. (Преобра­ зование Г ' , обратное гомологии Г, с центром О и осью о, перево­ дящей точку М в точку М' = Г(А0, является, очевидно, гомологией с теми же центром О и осью о, переводящей точку М' в точку М=Т~ (М')\ см. рис. 56.) Можно также рассматривать гомологии, отвечающие случаям, когда ось гомологии или центр гомологии (или и то и другое вместе) явля­ ются «бесконечно удаленными». Нетрудно, например, убедиться, что гомология с несобственной осью о и обыкновенным («собственным») 1 ис 58 x t 1 Х ') Это название связано с тем, что такое же расширение плоскости введением (несуществующих!) (бесконечно удаленных» точек и прямой естественно возникает в задачах, связанных с ц е н т р а л ь н ы м п р о е к т и ­ р о в а н и е м плоскости я на другую плоскость п' из некоторого центра О. Здесь также на плоскости п найдется прямая q, точки которой не проекти­ руются н и в к а к и е точки плоскости п\—это будет линия пересечения плоскости я с параллельной я ' плоскостью, проходящей через центр проектирования О. С другой стороны, на плоскости я ' найдется такая прямая q в точки которой не проектируются н и к а к и е точки плос­ кости л , — л и н и я пересечения плоскости п* с параллельной п плоскостью, проходящей через О. lt S Энциклопедии, ки. 4