* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 107 любых точек плоскости. Эти свойства, действительно, составляют предмет некоторой «геометрии», поскольку совокупность © всех параллельных переносов и симметрий относительно точек образует группу: 1° Т 'ждественное преобразование I можно рассматривать как «нуле­ вой» параллельный перенос. Рис. 51. Рис. 52. 2*. Преобразование, обратное параллельному переносу, снова есть параллельный перенос; преобразование, обратное симметрии относительно точки, есть снова симметрия относительно точки (та же самая). 3° Произведение двух параллельных переносов снова есть параллель­ ный перенос; произведение параллельного переноса и симметрии относи­ тельно точки (взятых в любом порядке) есть симметрия относительно точки (см. стр. 81—83), произведение двух симметрий относительно двух точек есть параллельный перенос (см стр. 83; если центры двух симметрий совпадают, то их произведение представляет соQ бой «нулевой» параллельный ' перенос). Отсюда следует, что сово­ купность 5 всех параллельных перено. ов и всех симметрий от­ носительно точек может быть положена в ос но к у определе­ ния своеобразной «геометр срни» ') Эга «геометрия» в " известном смысле является промежуточной между рассматриваемой выше и евклидовой геометриями, по­ скольку группа © является промежуточной между группой ^ парал­ лельных переносов и группой 4.' движений (группа S содержит группу *р и содержится А группе £*) Соответственно этому эта новая «геометрия» ближе к евклидовой геометрии, чем рассмотренная нами выше «геометрия» группы 1>. Так, например, теперь мы уже можем утверждать, что верти­ кальные углы «равны*, ибо два таких угла можно совместить симметрией относительно их общей вершины (в геометрии группы эта теорема неверна); далее, в новой геометрии «равенства» двух пар сторон тре­ угольников ABC и А'В'С недостаточно для того, чтобы утверждать, что «равны* и сами треугольники (рис. 54), в то время как «равенство» трех пар сторон уже с неизбежностью влечет за собой «равенство» треуголь­ ников Наконец, интересный пример теоремы, сохраняющей силу как А 11С ч ') В этой геометрии «равными» считаются такие фигуры, что отрезки, сое диияющне соответствующие друг д р у г у пары точек этих фигур, не только равны ц обычном смысле, но и параллельны, хотя их направления могут быть и противоположными (ср. т. 1 книги [2], стр. 22—23 ь 27]