* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

106 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ параллельных прямых), при определении которого достаточно говорить о равенстве отрезков одного направления, «равных» и в старом (евклидовом) и в новом смысле; мы можем даже ввести для отрезков фиксированного направления понятие «длины» (не имея, однако, никакой возможности сравнивать «длины» отрезков разных направлений!). Сохраняет смысл в но­ вой «геометрии» и понятие площади плоской фигуры, поскольку евклидово определение площади, связанное с рассмотрением сети квадратов и подсче­ том числа покрываемых фигурой квадратов, использует лишь равенство квадратов сети, а эти квадраты также «равны» и в смысле рассматри­ ваемой здесь «геометрии»'). Разумеется, все теоремы евклидовой геометрии, которые можно сфор­ мулировать в терминах «геометрии параллельных переносов», остаются верными и в этой новой «геометрии»; это вытекает из того, что если в с е д в и ж е н и я плоскости сохраняют некоторые свойства геометрических фи­ гур, то, разумеется, эти свойства не нарушаются и при параллельных пере­ носах. Так, например, мы по прежнему можем утверждать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины (ясно, что все понятия, фигурирующие в этой теореме, в новой «геометрии» имеют смысл), или что два треугольника ABC и АВС , для которых СС, || АВ, равновелики (рис. 51). В противоположность этому, скажем, теоремы о том, что пересекаются в одной точке высоты или бис­ сектрисы треугольника теряют здесь смысл, поскольку мы теперь не можем говорить о перпендикулярности прямых (и, следовательно, о высотах) и о равенстве углов с непараллельными сторонами (а значит, и о бис­ сектрисах). Теоремы евклидовой геометрии, связанные с понятиями, имеющими в рассматриваемой здесь «геометрии» новый смысл, могут изменить в этой «геометрии» свою формулировку. Так, например, из «равенства» двух треугольников ABC и А В'С по-прежнему следует «равенство» их соответ­ ствующих сторон (рис. 52; кавычки, в которые мы берем слово «равенство», подчеркивают, что мы понимаем его теперь не так, как в евклидовой геометрии); однако теперь уже из «равенства» д в у х пар сторон (напри­ мер, АВ и А'В', АС и А'С ) вытекает «равенство» треугольников. Можно указать еще целый ряд предложений, которые имеют силу в рассматри­ ваемой здесь «геометрии», но не в геометрии Евклида; так, например, для «равенства» двух треугольников ABC и А'В'С здесь необходимо <и достаточно) «равенство» трех отрезков АА\ ВВ' и СС (см. тот же рис. 52), а из «равенства» противоположных сторон АВ и DC четырех­ угольника ABCD вытекает, что «равны» и стороны AD и ВС и что диаго­ нали АС и BD четырехугольника в точке пересечения челятся пополам <рис. 53)*). Х 9 Видоизменением рассматриваемой «геометрии» (геометрии группы *р) является другая *геометрияъ, изучающая свойства фигур, спхрсняющиеся при всевозможных параллельных переносах и при симметриях относительно ') Ничего не меняет и то обстоятельство, что при таком определении площади плоской фигуры («Конструктивное определение площади»; см. в кн. V ЭЭМ статью «Площадь и объем») приходится говорить не об одной сети квадратов, а о бесконечной последовательности таких сетей с неограниченно уменьшающимися квадратами сети. ) К рассматриваемой здесь «геометрии? по существу относится учение о векторах (см. статью «Векторы и их применения в геометрии», в этой книге ЭЭМ), поскольку равенство векторов (направленных отрезков) АВ и CD можно определить так: векторы АВ и CD равны, если один из них можно совместить с другим параллельным переносом (ср. стр. 296). г