* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 105 вой (аналагматической) геометрии. Еще о д н у в а ж н у ю группу преобра­ зований (проективные преобразования), п р и в о д я щ у ю к н е о б х о д и м о с т и «расширения» плоскости введением «несобственных» элементов, мы рас­ смотрим в с л е д у ю щ е м параграфе. Аффинная и круговая (аналагматическая) геометрии представляют собой обширные разделы геометрии, которым (так ж е как и рассмат­ риваемой в с л е д у ю щ е м параграфе проективной геометрии) посвящена значительная литература и которые имеют важные приложения. О д н а к о с у щ е с т в у е т и много д р у г и х «геометрий», о т в е ч а ю щ и х инымгруппам геометрических преобразований. В качестве примера отметим здесь шгеометрию», изучающую свойства фигур, сохраняющиеся при параллельных переносах (т е. «геометрию», в ко­ торой «равными» считаются лишь фигуры, равные в обычном смысле м па­ раллельно расположенные). Нетрудно ридеть, что совокупность *р *сех параллельных переносов плоскости представляет обой группу; в самом деле: 1 Тождественное преобразование I можно рассматривать как парал­ лельный перенос (в любом направлении!) на нулевое расстояние. 2°. Преобразование, обратное параллельному переносу, представляет собой параллельный перенос (см. стр. 97). 3 . Произведение двух параллельных переносов также есть параллель­ ный перенос (см. стр. 81). Поэтому изучение таких свойств фигур, которые являются общим» для всех фигур, получающихся одна из другой параллельным перенесе­ нием, является занятием вполне осмысленным (хоть и не очень интерес­ ным), и соотгетствующая «геометрия» (геометрия группы SJ>) с логической стороны должна считаться столь же законной, как и обыкновенная евкли­ дова геометрия (которой она, однако, неизмеримо уступает с точки зрения важности ее приложений)*). В этой новой «геометрии» теряет смысл целый ряд понятий обыкно­ венной (евклидовой) геометрии, например длина отрезка (ибо отрезки разных направлений здесь являются «несравнимыми», поскольку никакие два такие отрезка нельзя совместить «движением») или пели чина угла* (по аналогичной причине). Нельзя определить здесь и окружности, поскольку оба определения окружности — как геометрического места точек, удаленных от фиксированной точки на постоянное расстояние, и как геометрического места точек, из которых данный отрезок вилен под постоян­ ным (ориентированным) углом — оказываются бессодержательными. В про­ тивоположность этому понятие прямой линии, разумеется, полностью сохраняет свое значение в новой «геометрии»; можно считать даже, чтооно играет здесь большую роль, чем в евклидовой геометрии, поскольку теперь прямая является е д и н с т в е н н о й линией, которую можно «движением» совместить саму с собой. Отсюда вытекает, что в нашей «геометрии» можно по-прежнему говорить о треугольниках, четырехуголь­ никах и т. д. и изучать их свойства. Важную роль играет в рассматривае­ мой «геометрии» понятие отношения отрезков о^ной прямой (или Г е ) Эту «геометрию» можно определить тем, что и ней равные фигуры характеризуются как такие, у которых отрезки, соединяющие соответствую­ щие друг другу пары точек, не только равны в обычном смысле этого слова, но также параллельны и одинаково направлены (см. т. I книги И. М. Я г л о м а [2], указанной в конце статьи, стр. 22—23) 1