* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

104 ГЕОМЕТРИ ЧЕСКИТ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (точка переходит снова в точку и прямая — в прямую). Однако, скажем, поня гие окружности в аффинн й геометрии отсутствует — ведь аффинные преобр^овании могут перевести окружность в линию, не являющуюся окружностью; поэтому окружность здесь «не имеет геометрического смысла» (подобно тому как в обычной или евклидовой геометрии не имеет смысла, скажем, понятие горизонтального направления) ). Далее, в аффинной геометрии можно говорить о параллельных пря­ мых, но не о перпендикулярных прямых; об отношении отрезков, при­ надлежащих одной прямой, но не об отношении отрезков, принадле­ жащих разным (не параллельным) прямым (см. свойства аффинных преобразований, указанные в п. 3.3, стр. 77). Так, типичной аффин­ ной теоремой является следующая: три медианы треугольника пересеки отся в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1 считая от вершины', в самом деле, все фигурирующие в этой теореме понятия имеют аффинный характер. Напротив, скажем, теорема о точке пересечении высот треугольника связана с понятием перпен­ дикулярных прямых, отсутствующим в аффинной геометрии — и в этой геометрии теорему о точке пересечения высот невозможно сформу­ лировать ). Аналогично аффинным преобразованиям составляют группу и кру­ говые преобразования (круговой') плоскости (см. стр. 62); этой группе преобразований отвечает своя «геометрия», которую можно было бы назвать круговой геометрией (чаще говорят об аналагматической, или конформной геометрии)"). Приведенные соображе­ ния доставляют также дополнительную мотивировку целесообразности введения такого понятия, как круговая плоскость, поскольку лишь на «расширенной» соответствующим образом плоскости можно говорить о группе круговых преобразований и, значит, лишь круговая но не евклидова) плоскость может служить «полем действия» круго1 8 ') Напротив, понятие э л л и п с а (см статью о конических сечениях ь кн. V ЭЭМ) принадлежит аффинной геометрии (поскольку каждое аффин­ ное преобразование переводит эллипс снова в эллипс) *) Аффинную геометрию можно строить и аксиоматическим путем (ср. со статьей «Аксиомы и основные понятия геометрии» в этой книге ЭЭМ). Для этого надо ыэрать какие-то основные, неопределяемые понятия аффинной геометрии и сформулировать в виде аксиом основные их свойства, из которых все остальные теоремы аффинной геометрии уже можно полу­ чить дедуктивным путем. Аксиоматика аффинной геометрии близка к аксио­ матике евклидоной геометрии; только понятие «равенства» отрезков или углов в ней не имеет смысла и связанные с этим понятием аксиомы должны быть откинуты или заменены ругими (см., например, указанную L подстрочном примечании на стр 62 книгу И. М Я г л о м а и В. Г. А шк и и у э е . целиком посвященную аффинной геометрии). Иной вариант аксиоматик i аффинной геометрии намечен в статье «Векторы и их приме­ нения . геометрии*.и напечатанной в этой книге ЭЭМ Гетр. 292—ЗЯ1). ) Некоторое представление о содержании этой интересной геометрии мо л но получит* из статьи «Охру/кности» в этой книге ЭЭМ. J