* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 103 много разных «геометрий» — столько же, сколько имеется разных групп преобразований; лишь одной из них является обычная геомет­ рия Евклида, изучаемая в средней школе. Мы уже говорили в на­ чале этого параграфа о том, что геометрия (обычная, евклидова) изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях. Этот взгляд на геометрию вполне согласуется с приведенным выше определением Клейна, ибо совокупность 2) всех движений плоскости является группой. В самом деле, произведение двух любых движений снова является движением; преобразование, обратное некоторому движению, само является движением; движением является также и тождествен­ ное преобразование (все это'непосредственно следует из определения движений). Другой пример группы преобразований мы получим, рас­ сматривая совокупность © всех преобразований подобия. Как мы уже отмечали выше, геометрия, определяемая группой движений 55, несколько отличается от геометрии, определяемой группой (§ преоб­ разований подобия, хотя эти геометрии очень близки друг другу. Можно сказать, что предмет школьного курса геометрии представ­ ляет собой «переплетение» этих двух родственных геометрий: геомет­ рии группы S5 и геометрии [руппы (£ Выбирая в качестве & группу преобразований, отличную от группы движений (или от группы пре­ образований подобия), мы придем к иной математической дисцип­ лине к новой, «не евклидовой» геометрии'). Нетрудно понять, что совокупность 2( всех аффинных преобра­ зований плоскости (см. стр. 62) образует группу. В самом деле: 1° тождественное преобразование плоскости, очевидно, переводит каждую прямую линию снова в прямую (в ту же самую!) и, значит, является аффинным преобразованием; 2° если преобразование Ф переводит каждую прямую / снова в прямую / ' , то и обратное пре­ образование Ф~" переводит прямую в прямую (/' в / ) , т. е. преоб­ разование, обратное аффинному, также является аффинным; 3° если преобразование Ф переводит каждую прямую / в прямую / ' и пре­ образование также переводит прямую в прямую (/' в Г ) , то и их произведение ¥ Ф снова переводит прямую в прямую (/ в / " ) , т. е. произведение двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием. Отсюда следует, что можно рассматривать «геомет­ рию», изучающую «аффинные» свойства фигур, т. е. свойства, сохра­ няющиеся при аффинных преобразованиях (геометрия группы 2(); соответствующая дисциплина — аффинная геометрия — является в настоящее время большой самостоятельной наукой. В аффинной геометрии можно говорить о точках и о прямых, по­ скольку эти понятия сохраняются при аффинных преобразованиях ) Очень важную категорию этих «не евклидовых» геометрий состав­ ляют так называемые неевклидовы геометрии (без кавычек) и. в частности, неевклидово геометр чя Лобачевского (см. по этому поводу статью о неевкли­ довых геометриях в кн. V ЭЭМ). х