* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

102 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ успехов, художественных достоинств двух произведений искус­ ства и т. д.): 1 °. Каждая фигура F «равна» сама себе ( р е ф л е к с и в н о с т ь ) . 2° Если фигура F «равна» фигуре F , то и обратно, F «равна» F ( с и м м е т р и ч н о с т ь ) . 3° Если фигура F «равна» F , a F «равна» F , то и F «равна» F ( т р а н з и т и в н о с т ь ) . Ясно, что в случае совершенно произвольной совокупности ® преобразований «равенство», определенное с помощью этой совокуп­ ности, можег и не обладать свойствами 1 ° — 3 ° . Для того чтобы обеспечить выполнение этих трех свойств, естественно потребовать, чтобы: 1°. Совокупность преобразований © содержала тождественное преобразование 1, переводящее всякую фигуру саму в себя. 2°. Наряду с каждым преобразованием Ф. переводящим фигуру F в фигуру F , совокупность © содержала и обратное преобразование Ф ~ \ переводящее фигуру F в фигуру /\. 3° Наряду с каждыми двумя преобразованиями Ф и ? , пере­ водящими фигуру F в фигуру F , соответственно фигуру F — в фигуру F , совокупность © содержала и произведение У Ф этих двух преобразований, переводящее F в F . Совокупность преобразований, удовлетворяющая свойствам 1°—3°, называется группой преобразований ). Таким образом, мы приходим к следующему общему определению геометрии, впервые сффмулированному известным немецким математиком Феликсом Клейном в лек­ ции, которую он прочитал при вступлении на пр.д})ессорскую кафедру университета в г. сЭрлангене (Германия) *) и которая впоследствии получила название Эрлангенской программы Клейна'): Геометрия — это наука, изучающая свойства фигур, сохраняю­ щиеся при преобразованиях некоторой группы © преобразований. 6.3. Различные геометрии. Аффинная геометрия. M i приведен­ ного выше определения геометрии вытекает, что можно построить очень x t % x x t 9 9 x 9 x t t x 2 9 9 x 9 1 ') Ср. также стр. 27—28 этой книги ЭЭЧ. *) В Германии долгое время существовал обычай, согласно которому кандидат на замещение профессорской должности должен был выступить перед Ученым советом с лекцией на своботнп (чбочнную им тему; на осно­ вании этой лекции Ученый совет делал заключение о во:чожности допущения данного лица к профессуре. В 1854 г. другой выдающийся немецкий математик Берн гард Р и м а н точно так же выступил перед Ученым советом Гетингенского университета с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», в которой изло­ жил свою концепцию геометрии, явившуюся, по существу, первым общим определением геометрической науки (отличным oi Гюлее позднего определе­ ния Клейна). Взглядов Римаиа на геометрию, не связанных с понятием геометрического преобразования, мы здесь коснуться не можем (см. по «тому поводу статью о неевклидовых геометриях в следующей книге ЗЗМ). Ч См. работу Ф. К л е й н а [1], цитированную в конце статьи.