* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 85 Заметим, что в примерах 3° и 4° мы считали, что центры О и О, или оси I и /, симметрий Ф и У р а з л и ч н ы . Можно, однако, искать и произведение двух симметрий Ф относительно о д н о й и т о й ж е точки О или прямой / (это произведение можно обозначить через ФФ или через Ф ). Так как симметрия Ф переводит образ А каждой точки А обратно в точку Л, то преобразование Ф перево­ дит каждую точку А саму в себя, т. е. не меняет положения ни одной точки плоскости. Такое «преобразование» I (здесь хотелось бы говорить об отсутствии всякого преобразования) называется т о ж д е с т в е н н ы м п р е о б р а з о в а н и е м плоскости; оно анало­ гично функции / ( X ) = JC числового переменного х сопоставляющей с каждым значением аргумента х т о ж е с а м о е число. Таким образом, квадрат симметрии относительно точки или относительно прямой (т. е. произведение двух одинаковых сим­ метрий) • представляет собой тождественное преобразование (ср. ниже, .стр. 97). 4.2. Некоторые обшие свойства произведения преобразований. Отметим, что, как следует из наших примеров, произведение двух преобразований (в отличие от произведения чисел), вообще говоря, суи&ственно зависит от порядка, в котором взяты эти преобра­ зованиях так, если Ф есть параллельный перенос на вектор ММ' •= а, У —симметрия относительно точки О, то У Ф есть симметрия отно­ сительно такой точки О,, что 0 0 , = у а ФУ—симметрия от­ носительно такой точки О , что 0 0 = у Л Ш ' (ср. пример 3*, в частности рис. 37, а, б). Впрочем, это обстоятельство никак не может нас удивить — ведь произведение преобразований родственно понятию сложной функции, в которой порядок отдельных функций оказы­ вается весьма существенным [совсем не одно и то же, например, sin*jc и sin(x*) или а~* и —а*]. Итак, мы видим, что в отличие от умножения чисел для умно­ жения геометрических преобразований не выполняется к о м м у т а ­ тивный (переместительный) закон: преобразование УФ, вообще говоря, отлично от преобразования Ф У . Можно было бы думать, что также и а с с о ц и а т и в н ы й (сочетательный) з а к о н обыкновенной арифметики чисел будет нарушаться в «арифметике преобразований», т. е. что произведения X (УФ) и ( Х У ) Ф пре­ образований будут различны. Однако легко видеть, что это на самом деле не так: умножение преобразований всегда ассоциативно. В самом деле, пусть, скажем, ф{А) = А г (А )^=А и Х(А )=А ; в таком случае, очевидно, (УФМ^-УИ,)^, 3 9 я у а 2 х г г9 г ш Х Ш [ Х ( У Ф ) ] И ) = Х И , ) = >! ; в