* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

60 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ и о т р и ц а т е л ь н о й ; в этом последнем случае ОА'-ОА = \ k\ и направ­ ления отрезков OA' и OA п р о т и в о п о л о ж н ы . За область действия гиперболической инверсии можно принять пло­ скость с выброшенной из нее прямой с, поскольку точки этой прямой не переходят при нашем преобразовании ни в какие точки плоскости. Можно также построить н другую область действия гипербо. ческой инверсии, не выбрасывая из плоскости «лишние» точки, а наоборот, добавляя к пло­ скости новые «несобственные» точки, на чем мы здесь останавливаться не будем. Заметим, что все рассмотренные точечные преобразования являются н е п р е р ы в н ы м и , т. е. обладают следующим свойством: если перемен­ ная точка Л , оставаясь все время в области действия преобразования Ф, стремится к некоторой точке А , также принадлежащей области действия преобразования (т. е. если расстояние А А стремится к нулю при неогра­ ниченном возрастании номера я), то отвечающая точке А точка А = Ф(А ) стремится к точке Л ' = Ф ( Л ) , отвечающей точке А . Легко привести и сколько угодно примеров не непрерывных преобразований (таким будет, например, преобразование, при котором все параллельные заданной пря­ мой / прямые плоскости претерпевают параллельный перенос в направ­ лении прямой /, но прямые, расстояние которых от / рационально, сдвига­ ются на величину 0^0, а прямые, расстояние которых от I иррационально,— на величину 2а). Однако, так как в геометрии используются почти исклю­ чительно непрерывные преобразования, то мы здесь ограничимся рассмот­ рением только таких преобразований. Впрочем, свойства непрерывности рассматриваемых преобразований мы нигде использовать не будем. п п п п п 1.3. Некоторые типы геометрических преобразований. Нетрудно видеть, что преобразования, описанные в примерах 3, 4, 5,6, обладают следующим замечательным свойством: любые две тонка А и В они о переводят в такие точки А ' и В\ что расстояние А'В' равно расстояв 0 Рнс. 12. Рис. 13. сохрзниющие расстояния между точками, называются движениями; таким образом, вращение, параллельный перенос, симметрия отно­ сительно точки и симметрия относительно прямой являются движениями плоскости. Преобразование, описанное в примере 7 (гомотетия) обладает тем свойством, что расстояние между образами А' и В' точек АиВпро-