* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

56 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ прямую о называют о с ь ю сжатия, а число к—его коэффици­ ентом. Можно считать, что коэффициент к сжатия может быть и о т р и ­ ц а т е л ь н ы м (причем в этом случае отрезки 0 4 ' и OA имеют п р о т и ­ в о п о л о ж н о е направление, т. е. точки Ап А' лежат по разные сторо­ ны прямой о). Сжатие к прямой о с коэффициентом сжатия к = — 1 пред­ ставляет собой, очевидно, симметрию относительно прямой о (пример 6). П р и м е р 9. Гомотетия с центром О и коэффициентом к (при­ мер 7) определяется как преобразование, переводящее точку А в та­ кую точку А' прямой OA, что о т н о ш е н и е равно к. Рассмот­ рим теперь преобразование, перево­ дящее точку А в такую точку А' луча OA, что произведение OA-OA' имеет заданную величину: OA'-OA = к, где к—некоторое за­ данное положительное число (рис. 9). Это преобразование называется ин­ версией ') (с ц е н т р о м О и с т е ­ п е н ь ю к). Если к = а , то точки окружности S с центром О и ра­ диусом а переходят при инверсии сами в себя, внешние по отношению Рис 9. ^ точки переходят во внутрен­ г к ние, а внутренние точки — во внеш­ ние; это обстоятельство оправдывает другое название рассматривае­ мого преобразования — симметрия относительно окружности 5. Симметрию относительно окружности 5 можно также описать геоме­ трически: при этом преобразовании внешняя по отношению к 5 точка А переходит в точку А' пересечения прямой OA (где О—центр окруж­ ности S) с прямой PQ, соединяющей точки Р и Q прикосновения с 5 проведенных к ней из А касательных, а А' переходит в А; это следует из того, что в прямоугольном треугольнике ОРА (рис. 9) РА' есть высота, и потому OA-OA' =ОР* = а = к. Можно также считать, что степень к инверсии может быть и о т р и ц а т е л ь н о й , причем в этом последнем случае отрезки OA' и OA п р о т и в о п о л о ж н о направлены и OA'-OA = | к |. Заметим теперь, что, строго говоря, мы не дали точного опреде­ ления инверсии, ибо отображение, определенное выше, не определено в точке О — ей не соответствует при инверсии н и к а к а я точка плоскости. Один из приемов, применяющихся для устранения этой некорректности,— считать, что область действия инверсии н е с о в г ') От латинского слова inversio — обращение.