* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ПОЛНОТА АКСИОМАТИКИ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 41 Изложенная система аксиом пространства Евклида представляет собой модификацию системы аксиом, предложенной в конце XIX века немецким математиком Д. Г и л ь б е р т о м . Система Гильберта, за исключением некоторых частностей, отличается от изложенной сис­ темы тем, что вместо понятия «движение» Гильберт считает основным понятием «конгруэнтность» («равенство»), т. е. то, что с нашей точки зрения можно определить как совместимость с помощью движения, а аксиому Кантора Гильберт формулировал как «аксиому полноты», в силу которой к пространству нельзя добавить новые точки, так чтобы продолжали выполняться все аксиомы. Аксиомы движения были пред­ ложены в начале XX века Ф. Ш у р о м . Таким образом, в изложенной нами системе аксиом основными понятиями геометрии являются точка, прямая, плоскость и движение, которые не определяются, но взаимоотношения между которыми выясняются из аксиом. Возможны и другие системы аксиом простран­ ства Евклида, в которых за основные понятия принимаются другие объекты; так, у Гильберта вместо понятия «движение» неопреде­ ляемым считалось понятие «конгруэнтности»; в аксиоматике извест­ ного русского геометра В. Ф. К а г а н а за основу бралось понятие «расстояния» и т. д. Пример одной из аксиоматик евклидовой геомет­ рии, отличной от изложенной здесь, приведен в статье о векторах в этой книге ЭЭМ (стр. 369—370). Разумеется, различные аксиома­ тики евклидовой геометрии эквивалентны друг другу, т. е., исходя из одной аксиоматики, можно д о к а з а т ь аксиомы другой аксиомагики, как теоремы, и наоборот. Отметим в заключение, что вычеркивая в приведенном выше списке аксиом аксиомы 4°—8°, относящиеся к пространству, мы по­ лучим систему аксиом евклидовой плоскости (при этом в некоторых аксиомах надо произвести очевидные изменения; например, следует изменить понятие «репера», выбросив из него полупространство). § 7. Непротиворечивость и полпота аксиоматики евклидовой геометрии 7.1. Арифметическая модель геометрии Евклида. Теперь, когда мы имеем полный список аксиом геометрии, можно поставить вопрос о непротиворечивости геометрии Евклида и о полноте приведенной аксиоматики. Для доказательства непротиворечивости мы должны средствами арифметики (ничего другого у нас пока нет) построить модель евклидовой геометрии; для доказательства полноты следует установить, что любые две модели евклидовой геометрии изоморфны. И непротиворечивость, и полнота доказываются с помощью одного и того же приема — построения системы координат. Для простоты мы проведем эти построения не в пространстве, а только на евкли­ довой плоскости, и притом очень схематично.