* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

22 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ в школе. С помощью этой интерпретации мы сейчас построим другие интерпретации евклидовой геометрии. Пусть г — некоторый отрезок. Условимся называть «точкой» вся­ кий шар радиуса г, «прямой» — всякий бесконечный круговой цилиндр радиуса г и «плоскостью» — всякую полосу толщины 2г, т. е. часть пространства, заключенную между двумя параллельными плоскостями, отстоящими друг от друга на расстоянии 2г. Будем, далее, говорить, что «точка» лежит на «прямой», если соответствующий шар целиком заключается в цилиндре. Расстоянием между двумя «точками» будем называть расстояние между цент­ рами соответствующих шаров. Очевидным образом можно опре1елить теперь «углы», «отрезки», ^треугольники», и т. д. Легко понять, что мы получаем таким образом новую интерпретацию евклидовой геометрии: все акси­ омы (а значит, и теоремы) оста­ ются в этой интерпретации спра­ ведливыми. Например, через любые две различные «точки» можно провести «прямую» и при­ том только одну (рис. 2). Другую интерпретацию евкли­ довой геометрии ) мы получим с Рис. 2. помощью так называемой стерео­ графической проекции. Мы огра­ ничимся случаем геометрии на ттлоскости. Пусть П — некоторая плоскость и «S—не пересекающая ее сфера. Обозначим через N наиболее удаленную от плоскости П точку сферы 5. Если теперь А—произвольная точка плоскости П, то мы обозначим через А' ту точку сферы S, в которой отрезок AN пересекает сферу S (рис. 3). Переход от точек А* Я, плоскости П к соответствующим точкам А\ В\ . . . сферы 5 и называется стереографической проекцией. При стереографической проекции плоскость П переходит в множество ГГ, которое получается, если из сферы 5 удалить («выколоть») точку N. Если теперь /— некоторая п р я м а я на плоскости I L то при стерео­ графической проекции она переходит в проходящую через точку N о к р у ж н о с т ь / ' (из которой удалена точка N). Действительно, если точка А пробегает прямую /, то все отрезки AN лежат в одной плоскости (рис. 4), которая в пересечении со сферой 5 и определяет окружность /'. 1 ') Еще две модели, связанные с начертательной геометрией, читатель найдет в статье «Методы изображений» (см. стр. 228—290 этой книги ЭЭМ).