* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

18 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ понятия ГКОМРТРНИ § 3. Появление аксиоматического метода 3.1. Создание неевклидовой геометрии. Дальнейшее развитие геометрии пошло но нуги критики Евклида. Одни математики кри­ тиковали Евклида за то, что он ограничивался рассмотрением только таких геометрических величин, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, и поэтому не решал многих практически важных задач, как, например, определение площади круга и объемов круг­ лых тел. Эти пробелы Евклида, как мы знаем, были восполнены Архимедом. Другие математики критиковали Евклида за го, что он разрешал геометрию и арифметику и понапрасну доказывал для целых чисел снова то, что он уже доказал раньше для геометрических величин. Третьи подвергали критике аксиомы Евклида, т. е. его «постулаты» и «общие понятия» и предлагали исключить некоторые аксиомы или, наоборот, добавить новые. Особенно большие споры вызвал наиболее сложный и наименее наглядный постулат Евклида — его V постулат. Многие математики считали, что этот постулат является лишним и его можно и непременно нужно доказать как теорему с помощью остальных аксиом. Другие считали, что следует заменить постулат Евклида более простым и наглядным постулатом. Одним из таких более простых постулатов, равносильных V посту­ лату, является следующий: «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую». Критика Евклида, продолжавшаяся свыше двух тысяч лет, при­ вела к двум важнейшим открытиям. Критика того разрыва между геометрией и арифметикой, который имелся у Евклида, привела к расширению понятия числа до действительного числа, которым теперь можно было характеризовать не только отношения соизмери­ мых геометрических величин, но и отношения несоизмеримых вели­ чин. Действительное число можно непрерывно изменять, вследствие чего введение действительных чисел в математику было равносиль­ ным введению в математику переменных величин. Этот величайший переворот в математике, связанный в первую очередь с именем Рене Д е к а р т а (XVII в.), непосредственно привел к открытию диффе­ ренциального и интегрального исчислений, являющихся математиче­ ским аппаратом механики и классической физики. Споры по вопросу о V постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Л о б а ч е в с к и й , Я. Б о й я и и К. Ф. Г а у с с построили новую геометрию ), в которой выполняются все аксиомы геометрии Евклида, за исключением V постулата, заменяющегося противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне пря­ мой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную 1 f ) См. статью о неевклидовых геометриях в кн. V ЭЭМ.