* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

16 АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ Евклида найти площадь или объем означало построить циркулем и линейкой квадрат или куб, равный данной фигуре, т. е., как гово­ рят, произвести «квадратуру» или «кубатуру» этой фигуры. Так как квадратура круга и кубатура круглых тел с помощью циркуля и линейки не удавались (и, как впоследствии было доказано Линдеманом, невозможны), Евклид не рассматривал ни площади круга, ни объемов круглых тел. Решение этих задач для многих плоских фигур и тел было произведено (вскоре после Евклида) А р х и м е д о м при помощи методов, восходящих к Демокриту. «Начала» Евклида завершались построениями с помощью циркуля и линейки ребер пяти правильных многогранников, вписанных в сферу данного радиуса и исследованием полученных несоизмеримых величин. 2.3. Непрерывность у Евклида и его предшественников. Сле­ дует отметить, что хотя первые определения Евклида и носят следы атомистических представлений Пифагора и Демокрита, сам Евклид не разделял этих представлений. Евклид считал, что, например, лю­ бой отрезок можно с помощью его идеальных инструментов делить пополам неограниченное количество раз. Линии, поверхности и тела Евклид считал непрерывными и, в частности, неоднократно пользо­ вался тем, что две прямые линии или окружности пересекаются, когда две точки одной из этих линий лежат по разные стороны от другой. Пифагор и Демокрит не владели понятием непрерывной величины; для них линии, поверхности и тела были совокупностями отдельных, дискретных точек. Аристотель определил непрерывную величину как такую величину, что если разбить ее на две части, эти части будут иметь общую границу (ср. в связи с этим текст на стр. 31). У Евклида нет этого замечательного определения, так как его определения, как мы отмечали, копируют старые, доаристогелевские образцы. Но Евклид, несомненно, считает линии, поверх­ ности и тела непрерывными в смысле Аристотеля. Определив непрерывную величину, Аристотель сделал вывод, что если дискретную величину можно рассматривать как множество то­ чек, то непрерывную величину ни в коем случае нельзя рассматри­ вать как множество неделимых элементов. Он, по-видимому, исходил из того, что если точки, как он считал, не имеют размеров, то две точки, непрерывно прилегающие друг к другу, сливаются в одну точку и, значит, тоже не имеют размеров; то же происходит и с тремя и с любым количеством точек, причем это утверждение, вер­ ное для конечного числа точек, Аристотель распространял на беско­ нечные множества точек. Поэтому Аристотель представлял себе линии не как множества точек, как Пифагор и Демокрит, а только как <'места», где могут находиться точки. Отсюда и происходит наш термин «геометрическое место точек», который мы применяем к линиям или поверхностям, определенным теми или иными услови­ ями: Аристотель и последующие математики не могли определить