* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

«НЛЧ АЛА» ЕВКЛИДА 15 2.2. «Постулаты» Евклида. «Постулаты» Евклида но существу представляют собой правила построений с помощью идеальной ли­ нейки и идеального циркуля. Первые два постулата «всякие две точки можно соединить прямой линией» и «ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжать» определяют действия с по­ мощью идеальной линейки. Третий постулат «из всякого центра вся­ ким радиусом можно описать окружность» определяют действия с помощью идеального ц и р к у л я Ч е т в е р т ы й постулат «все прямые углы равны между собой» является излишним; как было замечено впоследствии, его нетрудно вывести из остальных аксиом. Послед­ ний постулат Евклида, его знаменитый V постулат, гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продол­ жении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых». При формулировке этих постулатов мы встречаемся с равенством двух углов и со случаем, когда сумма двух углов меньше третьего. Эти соотношения определяются «общими понятиями» Евклида, по существу представляющими собой принципы измерения длин, углов, площадей и объемов. Их также пять: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части». Четвертое из этих «общих понятий» дает критерий равенства прямолинейных отрезков и углов (мы видели, что этот критерий равенства применялся еще Фалесом), а также достаточное, хотя и не необходимое условие равенства площадей более сложных фигур, т. е. в применении к площадям эту четвертую аксиому сле­ дует понимать так: «совмещающиеся друг с другом фигуры равны между собой (по площади)». Равенство площадей многоугольников различной формы доказывалось с помощью присоединения к четвер­ тому «общему понятию» первых трех ) . Пятое «общее понятие» вместе с предыдущими дает критерий того, что одна фигура больше другой; например, чтобы установить, что сумма двух углов больше третьего, надо убедиться, что третий угол можно наложить на часть угла, составленного из двух первых углов. Евклид понимал под решением задачи только построение с по­ мощью идеального циркуля и идеальной линейки. В частности, для г ') Полный список «постулатов», на которых основано решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, читатель найдет в статье: «О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки», стр. 208 — 209 настоящей книги ЭЭМ. *) Полный список «постулатов», на которых основано вычисление пло­ щадей и изложение современного учения о площадях, читатель найдет в начале статьи «О площадях и объемах» в кн. V ЭЭМ.