* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 545 Нас интересует теперь вопрос: какое геометрическое свойство порождаемого отображения соответствует свойству регулярности функции f(z) в области (Z))? Свойство регулярности f(z) в области (D) может быть характе­ ризовано (§ 15) тем, что в каждой точке z этой области функция / ( г ) имеет производную f'(z). Посмотрим, что означает геометри­ чески этот последний факт: выясним отдельно, каков геометриче­ ский смысл а) модуля производной | / ( * ) | » б) аргумента производ­ ной a r g / Х г ) . Положим,-как обычно, г Д ? = й, и, кроме того, Aw = Af(z)=f(z Az=pe*v + h) — f(z) 9 так что | Д г | = р, argAz = q>. Допустим, что точка z -f- h приближается к точке z по некото­ рому л у ч у , т. е. таким,образом, что аргумент ер приращения v г+£г к4 w+Aw х и % f Рис. 12. остаётся постоянным, а модуль его р стремится к нулю (рис. 12). Допустим, что в точке z производная w отлична от нуля. По определению производной предел существует, конечен и не зависит от того, каким образом Дг стре­ мится к нулю. Это означает, что' оба следующих предела a) | t £ / | = l i m - L ^ i и б) arg*iy' = lim \ arg Aw— arg Д.?} существуют, конечны и не зависят, в частности, от угла qp ). Отношение точками & 1 показывает, во сколько раз расстояние между и w больше, чем расстояние между точками w - j - Aw ) См. мелкий шрифт в § 2. Энди клопедин кн. 3 f 35