* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

544 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Возможность «ветвления» функции и возникновения многознач­ ности не противоречит принципу аналитического продолжения. Так, может случиться, что из области (D)=abcda с двойной штриховкой (рис. 11) функция продолжена аналити­ чески в область (D,) = aefghibcda, за­ штрихованную вертикально, и в об- • ласть (D^^abcjhkfda, заштрихован­ ную горизонтально, причем значения функции в области fghkf при одном и при другом продолжении окажутся различными. Следующие примеры иллюстрируют рез­ кое различие взглядов на природу функции * с точки зрения теории функций действи­ тельного переменного (ТФДП) и с точки зрения теории функций комплекс­ ного переменного (ТФКП). П р и м е р I . Задана функция действительного переменного у = х ъ про­ межутке — I s ^ J t s ^ - f - 1 . Согласно ТФДП она существует в этом проме­ жутке и нигде более. Согласно ТФКП она «продолжается» не только на всю действительную ось, но и на всю комплексную плоскость с помощью фор­ мулы w = z* так как это — единственно возможное аналитическое продол­ жение. П р и м е р 2. Задана функция действительного переменного у = \ х | в про-, межутке 1 = ^ J t ^ + 1. С точки зрения ТФДП здесь имеется о д н а функ­ ция, заданная в названном промежутке. С точки зрения ТФКП аналитическое продолжение из правой половины отрезка на всю плоскость даёт функцию w = z, из левой — функцию w = — z: здесь имеется, таким образом, д в е различные аналитические функции. П р и м е р 3. Задано уравнение у* = х. Согласно ТФДП оно определяет д в е различные (непрерывные) функции на полуоси О^х < <х>: y = \fx и у = — ~\Г~х (радикалы — арифметические). Согласно ТФКП уравнение опреде­ ляет о д н у аналитическую функцию w = ~\/~z (радикал — алгебраический), имеющую по два значения для всех комплексных значений z(~£0): одна «ветвь» переходит в другую в результате аналитического продолжения «во­ круг» особой точки z = 0. П р и м е р 4. То же можно сказать о функции у = ~\/\ —х*—решении уравнения X -{-у* = 1 (см. стр. 15 и 219). С точки зрения ТФКП мы получаем только одну аналитическую функцию w = | / I — г* (радикал—алге­ браический), имеющую по два значения для всех комплексных значений, кроме 2 = 1 и z = — 1 , причём одна «ветвь» переходит в другую при обходе каждой из точек -f-1 и — 1. г t — s § 16. Геометрический смысл аналитических функций Как мы видели (см. § 1), задавая в некоторой области (D) со­ вершенно произвольную функцию комплексного переменного т у = / ( г ) , мы тем самым сопоставляем с каждой точкой z области (D) некоторую точку в плоскости w; можно сказать, что функция w=f (z) «порождает» некоторое отображение области (D) в плоскости z на плоскость w.