* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 543 Вот ещё более тонкий пример. Считая доказанным равенство а р J L 1 р • а? =а I J L q 9 a при всех-целых положительных значениях р и q мы, немедленно «распро­ страняя» его, получаем тождество (для комплексных значений Zi и z ) а а *= а ' » опираясь на то, что функция _1_ 1 1 2 L я / ( z ) = ^ а<* —а , очевидно, регулярная во всей плоскости, имеет нули вида — с предельной точкой z = 0.* Свойство 4 лежит в основе аналитического продолжения функций. Предположим, что так или иначе заданы в некоторой области (D) значения функции f(z); "эти значения таковы, что f(z) оказывается регулярной в (/>). Предположим, что (D) не со­ впадает со всей плоскостью и что (D ) — неко­ торая область, более «обширная», чем (D), т. е. содержащая ее, но не совпадающая с нею (рис. 10). Можно поставить вопрос: существует ли функ­ ция / , (z% обладающая свойствами: *) / i W регулярна в (Z),), 2)/ (z)=f(z) в (£>)? Такой функции может не существовать; но если она существует, то она е д и н с т в е н н а (свойство 4). Это даёт основание отождествлять функцию / , (z) с функцией f(z) считая значе­ ния / , (г), взятые в точках области (£>,), но Е«с. Ю. вне области (£)), значениями f(z) в этих точках. Принимая такого рода «принцип аналитического продолжения», теория функций комплексного переменного разрешает говорить о значениях функции в некоторых точках даже в том случае, если эти точки д * е ж а т з а п р е д е л а м и о б л а с т и о п р е д е л е н и я функции. С другой стороны, принято, говорить о значениях функции ком­ плексного переменного лишь в тех точках, в которых функция регулярна (см. § 14). Таким образом, в теории функций комплексного переменного считается, что аналитическая функция, помимо той области, в кото­ рой она непосредственно задана тем илн иным способом, опреде­ ляется также во всех областях, в которые она может быть анали­ тически продолжена: из всех этих областей, вместе взятых, и соста­ вляется область существования аналитической функции. % i 9