* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 641 «наче по предыдущему мы получили бы f(z)=0. Число р иазывается кратностью нуля с функции /(г). Если с есгь нуль кратностн р, то формула (85) принимает вид со п— р+ I и потому имеет место тождество / ( * ) = (* — « Г / , (*), ! (88) где / , {г)—функция, регулярная в точке с ) , и не обращается в ней в нуль; справедливо, как легко понять, и обратное утвержде­ ние: если функция / ( г ) имеет вид (88), то она имеет нуль р-й кратности в точке с. Понятие кратности нуля общеизвестно в случае многочленов; но оно распространяется, таким образом, и на все аналитические функции. 3. Нули аналитических функций (ф 0) изолированы. Это значит: еслй функция / ( ^ т о ж д е с т в е н н о не равная нулю, регулярна в точке с и в ней имеет нуль, то можно указать круг \z — с | < 8 ( 8 ] > 0 ) , в котором, кроме с, нет больше нулей /(г). Пусть р — кратность нуля с. Утверждение вытекает из фор­ мулы (88). Функция / (z) непрерывна (так как регулярна) в точке с и в ней отлична от нуля (так как / , (с) = а ф 0); выберем 8 на* столько малым, чтобы при \z—с|<^8 имело место неравенство l / i ( * ) — fx (с)|<е=j/j (с)|; последнее же влечёт за собой А(*)ф0*) (при \ — с | < 2 ) . 4. Если две функции f{z) и g{z), обе регулярные в некоторой области (D), принимают одинаковые значения во всех точках некоторой области (D ) представляющей собой часть области (D), или же во всех точкаЗс некоторой кривой ( Q , целиком принадле­ жащей (D), то во всей области (D) имеет место тождество f(z)~g(z). В противном случае функция г р г t r h (г) =f(z)-g (z), тождественно не равная нулю в (D), имела бы нулями все точки частной области (D ) или кривой (С), и тогда ее нули не были бы изолированными. Последнее из указанных свойств позволяет обосновать, в част­ ности, выбор определения-функций е , cosz, sinz для комплексной области. Так, мы приняли (§ 3) в качестве определения, что под t г 8 *) Потому что представляется степенным рядом. ) Из | £ — 0|<|0|р афО следует ЬфО.