* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

540 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Если функция f(z) определена в круге сходимости (86) рядом (85) и, следовательно, регулярна в точке с и если сама она и все её производные в этой точке обращаются в нуль, то функция f(z) в круге (86) тождественно равна нулю. Действительно, если /С)(ф= 0 то тогда а (л = 0, 1, 2, . . . ) , f(z) = 0. (87). а = 0 (я = 0, 1, 2, . . . ) и из формулы (85) следует: В действительной же области, не вводя требования регуляр­ ности, можно построить функцию, удовлетворяющую условиям (87), и тождественно не равную нулю ). 2. Для аналитических функций нули допускают классифика­ цию по «кратностям». Говорят, что точка с есть нуль функции f(z), если / ( с ) = 0. Предположим, что функция / ( f ) регулярна в точке с и ч т о / ( с ) = 0, но /(г)ф0. Тогда существует такое целое положительное число р> что / ( " ) ( с ) = 0 при л = 0, 1, , р—1, но / ( > ( с ) ^ 0 : 1 р _ tm j _ 3 *) Например, пусть / ( д г ) = 0 при J C ^ O , f(x) = e * при jf >0L Равенство f (0) — 0 справедливо по определению при я = 0, т. е. для самой функции /(лг). Убедиться в его справедливости при любом п можно посредством математической индукции. Пусть установлено, что / (0) = (У докажем, что / + " (0) = 0. Мы имеем: т1 | Л tm 9 (*0-/""(0) _f (h) A A " Это выражение, очевидно, равно нулю, если А < 0; покажем, что при А > 0 я —0 А im С помощью той же индукции легко устанавливается, что f имеет вид е uP {u) = Q (u), n n (х) при х> 0 Р п , где Р — целый рациональный многочлен. Полагая п ~^*=и, будем иметь при А < 1 , т. е. при ы > 1 : Г^Ж = - -« < - * , е Qn ( м ) е Q n ( u ) откуда ясно (вследствие свойства показательной функции, доказанного на стр. 81—82), что правая часть, а значит, и левая, стремятся к нулю вместе с А. Итак. / ^ ) - / " » ( 0 ) Ц т = 0 > я—О in li А как бы А ни стремилось к нулю, пробегая значения, отличные от нуля; а это как раз и означает, что f + (0) = 0.