* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СЬОЙСТПЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 530 Примеры. 1. Функция f(z) = tgz 1 регулярна во всей плоскости, кроме то­ чек вида (2п -|- 1 j - j . 2. Функция f(z) = e регулярна во всей плоскости, кроме точки *=0. Следующая теорема свидетельствует о замкнутости класса ана­ литических (регулярных в некоторой области) функций. Всякая функция;.-регулярная в области, является равномерным пределом некоторой последовательности многочленов (свойство (А)). Регулярные функции,^' если можно так выразиться, «обобщают» много­ члены. Возникает вопрос: рассматривая в некоторой области равно­ мерно сходящуюся последовательность регулярных функций, не по­ лучим ли мы в пределе функцию, которая уже не будет регулярной (будет «обобщением» регулярной)? Ответ, оказывается, отрица­ тельный: если последовательность функций {f (z) \, регулярных у некоторой области (D), сходится в этой области равномерно, то функция, получающаяся в пределе, f(z)= lim f (z) n n g п -+ со также регулярна в области (D) ). Доказательство вытекает из интеграла Коши: взяв замкнутую кривую (С) в области (D), мы получаем при любом п 1 у ( г ) = ± (Q ещл и переход к пределу даёт: Tyz f(z) = J> 2idJ С-* (О f ' т. е. функция f(z). представима (внутри (С)) интегралом Коши, а отсюда вытекает дифференцнруемость и возможность разложения се в степенной ряд: § 15. Свойства аналитических функций Особенно интересные свойства аналитических функций вытекают из их предстапимости степенным рядом (рядом Тейлора) оо f(z) = J «. (* - cf, Р > ° ( Л = а =^>, п 0 (85) -••)• ( 8 6 \г— с\<Ь *) Теорема ВсйсрШ трасса. ' % >