* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
СЬОЙСТПЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
530
Примеры. 1. Функция f(z)
= tgz
1
регулярна во всей плоскости, кроме то
чек вида (2п -|- 1 j - j . 2. Функция f(z) = e регулярна во всей плоскости, кроме точки *=0. Следующая теорема свидетельствует о замкнутости класса ана литических (регулярных в некоторой области) функций. Всякая функция;.-регулярная в области, является равномерным пределом некоторой последовательности многочленов (свойство (А)). Регулярные функции,^' если можно так выразиться, «обобщают» много члены. Возникает вопрос: рассматривая в некоторой области равно мерно сходящуюся последовательность регулярных функций, не по лучим ли мы в пределе функцию, которая уже не будет регулярной (будет «обобщением» регулярной)? Ответ, оказывается, отрица тельный: если последовательность функций {f (z) \, регулярных у некоторой области (D), сходится в этой области равномерно, то функция, получающаяся в пределе, f(z)= lim f (z)
n n g
п -+ со
также регулярна в области (D) ). Доказательство вытекает из интеграла Коши: взяв замкнутую кривую (С) в области (D), мы получаем при любом п
1
у
( г ) =
±
(Q
ещл
и переход к пределу даёт:
Tyz
f(z) = J> 2idJ С-* (О
f
'
т. е. функция f(z). представима (внутри (С)) интегралом Коши, а отсюда вытекает дифференцнруемость и возможность разложения се в степенной ряд:
§ 15. Свойства аналитических функций
Особенно интересные свойства аналитических функций вытекают из их предстапимости степенным рядом (рядом Тейлора)
оо
f(z) =
J
«. (* - cf,
Р > ° (
Л =
а =^>,
п
0
(85)
-••)• (
8 6
\г— с\<Ь *) Теорема ВсйсрШ трасса.
'
%
>