* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

538 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО равен нулю. Отсюда получается интеграл Коши и, как его след­ ствие, свойство Г). Заслуживает особого внимания то обстоятельство, что из В) следует Г): из того факта, что в некоторой области (двумерной) функция f(z) имеет первую производную f'(z), следует, что она «неограниченно дифференцируема*, т. е. имеет производные / ( " ) (г) всех порядков п и, более того, составленный из них ряд Тейлора Ас) + Ш(г-с)+^(г-с)* + ...+^(г-сГ-\-..; сходится и имеет суммой f(z) в некоторой окрестности точки с. Ничего подобного нельзя утверждать относительно функций, заданных в действительной области, т. е. на отрезке. Наконец, покажем, как из Б) непосредственно выводится В). Если в некоторой односвязной области интеграл j*/(C)rfC не зависит от (Q пути интегрирования, то наименование этого пути можно опустить г (§ 10) и рассматривать интеграл j*/(C)tfC как функцию z: z ф(*)=]7(С)л Но тогда (см. § 12) во всех точках рассматриваемой области функ­ ция Ф (z)* имеет первую производную, именно, Ф'С*) =/(*), а следовательно (см. предыдущий абзац), и вторую производную: Ф" ( * ) = / ' ( * ) . Итак, функция f(z) дифференцируема, что и следовало дока­ зать ) . Чтобы установить регулярность функции в некоторой области, достаточно проверить, что выполнено о д н о из свойств А) — Г), тогда остальные следуют отсюда «автоматически». О регулярности элементарных функций легче всего судить по их дифференцируемости. Так, элементарные функции регулярны во всех точках*), в окрест­ ности которых они однозначно заданы и дифференцируемы ). ! э *) Так называемая «теорема Морера». ) Говорят: «функция регулярна в точке» вместо того, чтобы сказать «функция регулярна в некоторой окрестности точки» (например, в некотором круге с центром в этой точке). ') Если функция задана неоднозначно, то выделяют её «однозначную ветвь» (как, например, в случае логарифма). я