* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛ КОШИ 533 на кривой (С) и внутри неё. Переходя к пределу в формуле (О мы получаем: (С) Посредством-прибила, использованного в начале § 12 при дока­ зательстве .основной теоремы, дадим теперь результату дальнейшее обобщение — на функции f(z) интегрируемые в некоторой о б л а с т и (D), при условии, что замкнутая кривая (С) находится в этой области и содержит внутри точку а (рис. 7). Так как а — произвольная точка внутри ( Q , то её можно рас­ сматривать как независимую переменную и обозначить буквой г; переменную же интегрирования обозначим буквой С. Тогда можно считать, что интеграл Коши t (76) (О даёт представление значений функ­ ции f(z) внутри (С) через её значе­ Рис. 7. ния / ( С ) на самой кривой (С). Посмотрим, какие следствия вытекают из факта представимости данной функции f(z) интегралом Коши, взятым по данной кри­ вой (С). 1. Функция f(z) дифференцируема внутри кривой ( Q , причём для получения производной f (z) надо продифференцировать по z подинтегральную функцию: (77) (О Д л я доказательства достаточно, убедиться, что выражение f(z + k 1 k)-f(z) ) Переход к пределу в правой части обосновывается неравенствами с 1£&а=т*\* y|aa=£H|*£«|,. _ |. w /w где ig обозначает произвольное положительное число, не превышающее ми­ нимального расстояния точка а от точек кривой ( О (см. рис. 7).