* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
532
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
от того, вает* ) .
,
«охватывает*
кривая
(С) точку
а или
«не охваты
Упражнение. Доказать (проводя рассуждения по образцу предыдущих), что интеграл ^ , где т — произвольное целое число, отличное от единицы, ранен
(Q
нулю всегда — лишь бы кривая (С) не проходила через точку а
§-13. Интеграл Коши
Известно, что при делении произвольного многочлена P(z) на z — а (где а — произвольное комплексное число) в остатке полу чается число Р(а) ); таким образом, имеем тождество
ъ
Р (z) = {z — a)Q{z)-\-P
(а),
(73)
в котором Q (z) обозначает снова многочлен (частное при делении). Частное от деления этого тождества на z — а проинтегрируем по какой угодно замкнутой кривой, охватывающей точку а:
<о
(С)
(О
Первый из интегралов в правой части равен нулю (§ 16); вто рой интеграл отличен от нуля (что чрезвычайно важно) и имеет значение 2ъ1 ( § 12). Отсюда получаем, решая относительно Р(а):
(Q
Правая часть выведенной формулы (74), важнейшей в теории функций комплексного переменного, носит название интеграла Коши. Эта формула получена пока только для произвольного м н о г о ч л е н а Р(г). Однако формула (74) имеет место и для любой функции f(z), которая допускает приближение многочленами. В самом деле, пусть последовательность многочленов { Р (z) \ стремится равно мерно к f(z)
п
P (z)ztm
n
') Интеграл сне имеет смысла», если кривая (С) проходит через точку а, так как функция f(z)=—!— при этом «терпит разрыв» в точке а. z а ) Так называемая «теорема Безу».
2