* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
530
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Но, пользуясь равенством (71), мы видим, что
причём
д
а л е е 1
K K I ^ I
(*=1
и потому
Z
есть предел суммы
г л
fc = l ft=l fc = 1
Первое слагаемое в правой части равно 16; что касается второго, то при условии, что | \y | < В, мы получаем | е J < |' | < В, и потому
k й
л
ft=l ft^1
Z
k= 1
таким образом, второе слагаемое стремится к нулю. Итак,
4=л
с
Формулы, приведенные в основном тексте, следует рассматривать как краткую запись всего этого процесса. Окончательно получаем: Ф(г) = 1пг-}-Й.. Этот результат как раз соответствует определению функции Ln z в комплексной области (см. § 6), однако здесь нет никакой не определённости в аргументе. Если бы вместо того, чтобы из точки г сразу по дуге круга итти в точку г, мы предварительно сделали полный оборот (в прямом направлении) по кругу, то результат увели чился бы на выражение i
о
если бы, вообще говоря, сделали k (целое число, ^ 0 ) таких обо ротов, то получили бы дополнительное слагаемое 2£та. Таким пу тём можно получить все «ветви» комплексного логарифма (§ 6); многозначность его объясняется присутствием «полюса» 2 = 0, во круг которого производится интеграция.