* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. СИНУС И КОСИНУС 501 После этого уже не покажется удивительным, что в математике принято следующее о*п р е д е л е н и е: Каково бы ни было значение (действительное или мнимое) ком¬ плексного переменного z, под символами е*, cosz, sinz подразуме­ вают суммы следующих абсолютно сходящихся рядов*. е? = cos z sinz 1 + ^ + £. + + i I P 2! * 3! 1 — — 4--** — — 4¬ 2! ^ 4! 6! ~ • *' z z i z* z i 1! 3! " Г 5i 7Г ' " 3 1 1 (7) Или более кратко (и более исчерпывающе): ОО OD OD п=^0 й —О rt =О Таким образом, в с и л у о п р е д е л е н и я написанные здесь ра­ венства являются тождествами во всей комплексной плоскости. Необходимость именно этих (а не иных, им не равносильных) определений будет установлена — в известном смысле — позднее (см. ниже, § 15). Каждая из формул (7 или 8) даёт возможность вычислять зна­ чение любой из трёх рассматриваемых функций приближённо, с на­ перёд заданной точностью; так, чтобы вычислить значение е ' можно в правую часть первой из формул (7) подставить 3 -|- 2/ вместо z и затем просуммировать достаточное число членов, разво­ рачивая степени по формуле «бинома Ньютона». Но вычисление можно произвести и гораздо проще, исходя иэ «теоремы сложения» — о с н о в н о г о с в о й с т в а показатель­ н о й ф у н к ц и и f(z) = e*. Это свойство выражается равен­ ством 3 + а /(z +z )=/(z )/(z ), I a 1 2 2 (9) которое является тождеством относительно z, и z . В более про­ стой записи e*i *=e**e** t a +e (10) оно известно читателю для случая, когда z и z — действительные; но мы убедимся, что оно справедливо и при произвольных комплекс­ ных значениях z и z . x %