* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

500 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ряда на ряд» по правилу «умножения многочлена на многочлен» *) OD OD ОС OD : п— 1 л^= 1 р -= I q = I Сказанное, вообще говоря, неверно по отношению к неабсолют­ но сходящимся рядам: в дальнейшем изложении, однако, мы будем избегать употребления таких рядов. § 3. Показательная функция. Синус и косинус Школьный курс элементарной алгебры не создаёт никакого по­ вода для того, чтобы ввести то или иное определение показатель­ ной функции при положительном основании и мнимых значениях показателя. Равным образом, тригонометрия не-даёт никакого ответа на вопрос: что следует понимать под значением тригонометрических функций при мнимом значении аргумента? Такой повод возникает, однако, после того как установлены формулы, содержащие разложения в степенные ряды + yf + 2T+|r + ---» 1 X ъ т х Х^ • Х^ Д^ | С X 1 х* i X й | — IT St ' пГ 7М Эти равенства справедливы при любых действительных значениях х (см. стр. 447) и, следовательно, являются тождествами в действи­ тельной области. • Правые части здесь обладают тем свойством, что они не теряют смысла также и при подстановке мнимых значений переменной: в самом деле, при такой подстановке получаются абсолютно сходя­ щиеся ряды с комплексными членами, причём сумма каждого из них есть некоторое комплексное число ). ) Доказательства этих свойств логически обязательны, так как законы действий не переносятся автоматически от случая конечного числа слагае­ мых на случай бесконечного числа (см. стр. 444—446). ) Действительно, обозначая модуль подставляемого значения перемен­ ного через г, мы убеждаемся, что ряд 2 1 £ l + L + lL H + + и М М 2М ЗМ " сходящийся (по признаку Даламбера; см.* также стр. 450); и подавно сходя­ щимися являются ряды ' 2! 4! 1! ~~ 3! ~ ~ 5! + • • • » * * получающиеся иэ него посредством выбрасывания части членов. И