* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДЕЛЫ. РЯДЫ 499 Поскольку понятие ряда приводится к понятию предела, о схо­ димости рядов в комплексной области можно сказать то же, что и в действительной: ряд П«= 1 сходится и имеет сумму S = Z + Z + s («сходится к сумме ST>) если, 9 полагая FT 1 A . . . - \ - Z N (Л=1, % •--). мы будем иметь соотношение \\ms = s. n (5) В теории рядов с комплексными членами существенно понятие абсолютной солютно сходимости*, по определению ряд ^ n сходится абп =1 % z если сходится не только он сам, но и ряд OD 9 составлен- ный из модулей n n его членов, n ^ п= I \ nV абсолютно ОО п z Пусть z =x -\-iy OD ( л = 1 , 2, . . . ) ; если сходится QD ряд и и V z , то сходятся n абсолютно также ряды V х п= 1 и ^у , п п= I п«=1 обратно. Справедливость этой теоремы следует из того, что | х \ ^ | z \ » ДРУГОЙ стороны, | ^ | ^ | ^ п | + | л 1 £ п n и с я В таком случае ясно следующее: ест то сходится и ряд n сходится ряд У \z \, n > z . (Достаточно сослаться на теорему 1 я= I на стр. 440 и на теорему aj) на стр. 498.) Таким образом, исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости ряда с положитель­ ными членами. Абсолютно сходящиеся ряды обладают всеми свойствами ко­ нечных сумм: в частности, их сходимость не нарушается, и их сумма не изменяется, при каких угодно перестановках членов и при произвольной расстановке скобок; возможно также «умножение 32*