* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

496 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Геометрическое истолкование комплексных чисел как точек в «комплексной» плоскости мы предполагаем известным. Говорят об «лг^-плоскости», или о «2-плоскосги». Функциональное соотношение (1) или (2) в таком случае пред­ ставляет геометрически «отображение» лу-плоскости на и,гг-плоскость, или г-плоскости на ^-плоскость (см. стр. 261). Отметим, что поскольку не определены ещё никакие операции, кроме четырёх арифметических, над комплексными числами, ни о каких функциях комплексного переменного*), кроме рациональных, не может быть речи. Такие символы, как, например, 2 , cos/, l g ( 3 i + 2) и т. п., лишены для нас всякого смысла до тех пор, пока не будут даны определения показательной функции, тригонометрических функций, логарифма и т. д. в комплексной области ). Задачей настоящей статьи в первую очередь и является — р а с ­ пространить определения элементарных функций на к о м п л е к с н у ю о б л а с т ь . Такого рода определения будут даны в ближайших параграфах (§§ 3—8); однако принципы, лежащие в основе этих определений и обусловливающие 'их логическую необходимость, будут выяснены позднее (см. § § 9—16). Интересующие Нас определения проще всего даются с помощью рядов; поэтому нам предварительно придётся остановиться на поня­ тии предела и понятии ряда в комплексной области. 9 1 § 2. Пределы. Ряды Определение предела последовательности*) { z чисел n } =^ t* z z *y г> г в комплексной области — буквально то же, что и в действительной; говорят, что последовательность { z } стремится к пределу с, или имеет предел с lim z = с, z ^ c , n n n если, как бы мало ни было положительное число s, при достаточно больших значениях п (при n^>N ) имеет место неравенство B . а 1 * . - * 1 0 (3) *) Термин «функция» употребляется здесь в оперативном смысле, а не в смысле «соответствия». ) В курсе элементарной алгебры иногда, кроме рациональных операций, вводится также операция извлечения корня целой положительной степени /(z) = V T . К этому вопросу мы обратимся ниже в § 7. ) О пределе функции сказано в § 9. а