* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

474 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Поэтому 'радиус сходимости ряда (73) есть 1. Мы не будем исследовать поведение ряда на концах ± 1 промежутка сходимо­ сти ), а ограничимся изучением его СУММЫ В открытом промежутке 1 Выше уже указывалось, что оывают случаи, когда ряд Тейлора некоторой функции сходится, но его сумма не совпадает с этой функцией. Поэтому из того обстоятельства, что ряд (73) сходится в (— 1, + 1 ) , ещё не следует, что сумма его равна функции (1 -\-ху. Доказать этот факт на основании теоремы 2 из п°43 нельзя, так как условия этой теоремы здесь оказываются не выполненными. Можно было бы доказать его, пользуясь другими" выражениями оста­ точного члена формулы Тейлора, более сложными, чем установлен­ ное в п°12. Поскольку, однако, этих выражений мы не выводили, то и этот путь оказывается для нас закрытым. В то же время упо­ мянутый факт весьма важен. Поэтому мы всё же докажем его, хотя и несколько искусственным способом. Обозначим сумму ряда (73) через S(x). Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать, то при всех х из (— 1, + 1 ) будет e V 1 1 ^+" "~ х + ( 1 2 ) . "~ ( 2 ) ^+-» (74) равенство откуда Ш = 1 + 1 ^ Ь - № - Ъ * + . . . Умножим равенство (74) на л: и сложим полученное с (74). В результате окажется *±^&(х) 1 = ( 1 1 ^ - 4 I П fr-Wl*- ) 21 2 И I * ( fr-')0*- )fr- ) 3! 2 ) 2 3 уЗ I "Г \Г х \ = . +*+^*' + "-^- ^ +-... откуда Правая часть последнего равенства есть не что иное, как Таким образом, (l+x)S (x) = ?S(x). r S(x). (75) *) Сходимость или расходимость ряда (73) в точках ± 1 зависит от зна­ чения н»