* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 471 теоремы В самом деле, как было показано в п°12, в условиях остаточный член R (x) формулы Тейлора n /(*) =/(<0 + (*- < + •••+ 0 ^ (*- а) + /?„ (дг) п стремится к нулю с возрастанием я. Но это, очевидно, совершенно равносильно равенству (68), ибо сумма /(*) 1 (* - а) + . . . (х - af есть частичная сумма ряда Тейлора функции /(дг). В частности ), для функций s'mx, cos*, е* при всех действи­ тельных х справедливы разложения stn*=*_g + g - £ + cosx=1 — •••. (69) ( ) 7 0 Формулы (69) и (70) могут быть использованы для фактического вычисления sinx и cosx. Мы не будем уже останавливаться на этом вопросе, ибо основные принципы здесь те же, что и при вы­ числении логарифмов или арктангенсов. Обратим внимание читателя лишь на то обстоятельство, что, желая найти синус (или косинус) угла, заданного в г р а д у с а х , надо сначала найти величину этого угла в р а д и а н а х и именно эту величину подставлять вместо х в формулы (69) и (70). Остановимся в заключение ещё на одном возможном приме­ нении формулы (65). Именно, если эта формула справедлива в не­ котором промежутке (а— г, a-f-r), то, как было установлено в п°40, для всякого замкнутого промежутка [p q], содержащегося в (а — г, а + г), будет t я § f(x)dx=c P 0 Jcto + Ci J O * — а ) й л г + с я J(AT — af dx + . . . (72) p P P я я я Так как все интегралы, находящиеся в правой части, вычисля­ ются без труда, то формула (72) доставляет способ приближённого вычисления интеграла /(*) р dx, *) Как было бегло упомянуто в п°39.