* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
РЯДЫ
и
469
причем ошибка разности лежит между 0 и 10* . Сопоставляя это с оценкой для Л", находим: 0,01673630400 < 4? < 0,01673630402. (64) Из (61), (62) и (64) получаем: 3,14159265355 < я <В,14159265365. Отсюда тс = 3,1415926536, причём все выписанные здесь знаки верны! 43. Общие замечания по поводу разложения функций в сте пенные ряды. Рассмотрим какую-либо функцию /(дг), заданную в промежутке [А В], и пусть а — некоторая точка этого промежутка. Поставим вопрос о возможности представления f{x) степенным рядом, расположенным по степеням разности х — а. Чтобы не усложнять дела, будем предполагать точку а в н у т р е н н е й ) точкой \А В], т. е. считать Л < а <^В, Допустим, что для всех лг, удовлетворяющих неравенству а — г<^х<^а-\г, где г ^ > 0 , упомянутое представление возможно, т. е. что для всех этих х будет f(x) = c + c (x — a) + c (x — a)* + cs(x — а ) + . . . (65)
9 1 9 3 0 1 q
Само собой разумеется, что весь промежуток (а — г, a г) мы считаем содержащимся как в [Л, В], так и в промежутке сходимости написанного здесь ряда (так что радиус сходимости R этого ряда не меньше, чем г). Полагая в (65) х = а мы находим:
9
с =/(<*)•
0
(66)
r
Так как, далее, внутри промежутка сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, то для всех х из (а — r , a - f " ) должна существовать производная f (лг) и выполняться равенство f(x) = c + 2ct(x — а ) + 3с (л; — а ) + . . . ,
а t а 9
(67)
откуда, полагая х=а
мы находим: cx=f{a).
Применяя те же соображения к ряду существовании f'(x) и равенстве
а 3
(67), мы убеждаемся в
а
/"(лг) = 2 с - { - 3 - 2 C ( J C — а ) + 4 • 3 • с (лг — а ) + . . . ,
4
откуда
) В случае а = А (или а = В) никаких принципиальных изменений в нижеприводимых рассуждениях не потребовалось бы, ни пришлось бы не много изменить нх редакцию.
1
