* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
РЯДЫ
465
Таким образом, 1,94596865 < In 7 < 1,94591035. Отсюда и иэ (46) получаем сначала, что 1,945908 2,302586 а затем, что 0,845096 < l g 7 < 0,845099. .
g
1,945911 •2,302584' (54)
Собирая формулы (47) — (54) и присоединяя к ним тривиальные тожде ства l g 1 = 0 , l g 1 0 = 1, получаем таблицу:
N
1 2 3 4 5 0,00000 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897
N
6 7 8 9 10
IgiV 0,77815 0,84510 0,90309 0,95424 1,00000
Все написанные здесь знаки верны! В заключение мы еще раз хотим предостеречь (см. подстрочное примечание на стр. 463) читателя от мысли, что таблицы логариф мов в действительности вычислялись в т о ч н о с т и так, как это было показано здесь, но основные руководящие принципы этих вы числений совпадают с изложенными. 42. Разложение арктангенса и вычисление я . Если | л г | < ^ 1 , то 1 _|__ * 1
д 9 =
лг -|-лг
9
4
х*
-[-*••,
ибо справа здесь написана геометрическая прогрессия со знамена телем д=—Л; . Проинтегрируем это равенство по промежутку [0, г\ где 0 < Г г < [ 1 . В результате мы получим:
9
откуда
& 3$
arctgz = ;r — "з- + ~5 или, возвращаясь к букве лг,
arctgAT=AT
т"+ — •
л*
3-
,
5
7
I
•
(55)
Обе части этого равенства меняют знак вместе с х. Поэтому оно доказано для — 1 < [ д г < ^ 1 . При х=1 это равенство принимает вид Т
30
= 1
- Т + - 5 - - Т + | - Т 1 + - - - '
(
5
6
)
Энциклопедия, к в . 3
