* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 445 Отсюда видно, что I 1* *1 Yn Y^ и.ряд (58) расходится. Тем не менее справедлива Т е о р е м а 4. Если ряды (56) и (57) сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны А и В, то и ряд (58) сходится абсолютно и сумма его С равна произведению сумм рядов (56) и (57) С = АВ. (60) Иными словами, абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать, как конечные суммы. Для доказательства этой теоремы расположим все произведения (55) в бесконечную матрицу • аЬ х х b fls b ab A, 3 s t £ uibt . • * x &m • • • fla Ь .. • s &m • • • a b . • г bm • • • a fl г а b z (61) аЪ п х ab n a t n h - • • n &m • • • a Элементы этой матрицы можно различными способами записать в форме последовательности. Для нас особенно важны способы, изображённые на схемах / и // Схема I Первый из этих способов приводит к ряду т Схема П а Ь + а Ъ + д Ь + а Ь + а Ь + а b -fа b + а Ь + ... х х х г я х х г я % ь x х t г ъ (62) Объединяя члены ряда (62) в группы из одного, двух, трёх и т. д. чле­ нов, мы приходим в точности к ряду (58). ' Способ // приводит к ряду а Ь + а Ь + а Ъ + а b + а Ь + а Ь + в» Ь + «а *а + • • • х х х я я я 2 t х ь % г г (63) Все ряды, получаемые расположением элементов матрицы (61) в форме последовательности, получаются друг иэ друга перестановками членов. Пока­ жем, что все эти ряды сходятся абсолютно. Именно, возьмём какой-нибудь