* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

444 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ и РЯДЫ состоящие из неотрицательных и модулей отрицательных членов ряда (49). Эти ряды сходятся, и их суммы В к С связаны с суммой А ряда (49) формулой Л = В— С(54) Когда мы производим перестановку членов в ряде (49), то это вызывает соответствующие перестановки и в рядах (52) н (53), ибо в этих рядах порядок членов такой же, как и в (49). Но так как ряды (52) и (53) — п о л о ж и т е л ь н ы е , то их суммы В и С от перестановки не меняются. С другой стороны, сумма ряда (51) должна выражаться через суммы рядов, полученных упомянутыми перестановками из (52) и (53), той же форму­ лой (54). Отсюда и видно, что сумма ряда (51) равна сумме ряда (49). Условие абсолютной сходимости ряда для законности перестановок его членов не только достаточно, но и н е о б х о д и м о . Действительно, имеет место Т е о р е м а 3. Если ряд (49) сходится неабсолютно, то его члены можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд имел любую на­ перёд заданную сумму, а также так, чтобы он расходился. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого предложения. Обратимся теперь к вопросу о п е р е м н о ж е н и и р я д о в . Для того, чтобы перемножить две конечные суммы А = а +а 1 л + . . . +а т B = b + b+ t t ... +b , m надо умножить каждое слагаемое первой суммы на каждое слагаемое вто­ рой суммы и составить сумму всевозможных произведений ab t k ( / = 1 , 2, п\ k=\, % . . . . m). (55) Естественно спросить, переносится ли это правило и в теорию бесконеч­ ных рядов? Здесь прежде всего мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что появляется бесконечное множество произведений (55), и поторту нам при­ ходится дать какой-либо способ их «сложения». Наиболее удобным является следующее определение: Произведением рядов a + а + t 2 flj + . •* (56) < > 57 + + называется ряд в котором Су Ct + с + с + . . . , 2 л х t (58) г % 3 г и = а b, с = а Ъ -\- а Ь я х % 2 и с = а Ь + а Ь -\- а Ь 8 г и вообще Сл = М я + Д а * я - 1 + +<*я*1(59) Оказывается, что, вообще говоря, из сходимости рядов (56) и (57) не вытекает сходимость ряда (58). Например, если умножить сам на себя схо­ дящийся *) ряд то абсолютная величина общего члена (59) ряда (58) буде? такова i l l 1 Ул , ! 1/2 1 |/л-1 1 1 1 , 1 1 \п 1/3 \Гп — 2 ) Эхо видно на теоремы Лейбница, доказанной в п° 36.