* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ряды В самом деле, пусть положительный ряд
fli + fl +a
B a
443
4
+
. . .
(46)
сходится. Обозначим его сумму через S. Образуем новый ряд состоящий из тех же членов, что и (44), но расположенных в другом по рядке. Пусть частичные суммы рядов (46) и (47) суть S и S*. Пусть т(к) есть наибольшее из чисел п п», ... , п Тогда все слагаемые суммы
n и кш
K
=
a
n
i
+
a
n
i
+
- " +
a
n
k
буду* ходить в сумму
S
m(k) = «! + «• + •.. + <*m(k\ •
k
где, однако, могут находиться ещё и такие (положительные) слагаемые, которых нет в сумме S* . Отсюда следует, что
s
и тем более
*k ^ m(k)
Й*£& (48)
S
Таким образом, множество частичных сумм положительного ряда (47) ограничено сверху, и этот ряд сходится. Значит, мы доказали, что сходи мость положительного ряда от перестановки его членов не нарушается. Чтобы установить неизменность суммы ряда, обозначим сумму ряда (47) через S*. Тогда, переходя к пределу в неравенстве (48), мы найдём Это значит, что сумма сходящегося положительного ряда при переста новке его членов не увел*и к и в а е т е я. Но тогда уже ясно, что она и не у м е н ь ш а е т с я , ибо иначе обратная перестановка приводила бы к уве личению суммы ряда. Теорема доказана. Эта теорема обобщается на любые а б с о л ю т н о с х о д я щ и е с я ряды. Т е о р е м а 2. От перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его абсолютная сходимость не нарушается и сумма не меняется. Абсолютная сходимость ряда <*1 + а + а -\-...
3 Л
(49)
означает сходимость положительного ряда (50) Пусть в результате перестановки своих членов ряд (49) превратился в ряд апх + ащ + ап + • • • (51)
г
K I + K I + K I + ...
Ясно, что ряд абсолютных величин членов ряда (51) получается некото рой перестановкой иэ ряда (50). Значит, этот ряд абсолютных величин схо дится (по предыдущей теореме), а это и означает, что ряд (51) абсолютно сходится. Введём, далее, ряды b + t + b + ... (52) е +е + с +... • (53)
i s i t 1 я г 9
