* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

442 ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ Согласно теореме Лейбница знакочередующийся ряд сходится. Обозначим сумму его через 5. Важно отметить, что S -ф О, ибо сумма ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого члена ряда. Образуем теперь ряд иэ тех ж е чисел, но располагая их так, чтобы за каждым положительным членом следовало два отрицательных 1 2 n 4 + n 3 6 8 + 5 1 10 12+""* Обозначим через S и S частичные суммы рядов (44) и (45). Тогда, объединяя члены в группы по три, п о л у ч и м ) : S ^ = ( 1 ~ T ~ T ) + (T"F~T) + , ' , + (2F^~4T^"~4)1 I 1 4л — 2* Замечая, что 1—-L _L = _i_ j_ 6 — 6' 2 находим: 5 2 ' 3 2п— 1 4/z — 2 откуда ^ (т"т)+(1~т) + ' З л 1 + = ' + ( 4 ^ " ^ ) » ~ " 2 j. Но это означает, что Т+3"~Т+*" 2п^ГТ~2л]- и потому б£„ с возрастанием п стремится к -g-S. Так как с* °Зл+1 — с* л . 1 ЗЯТ-2Л+1' с* _ • з«+2 — о* °*3n+i — 4/г + 1 2• то и эти суммы стремятся К у 5 , Итак, ряд (45) имеет сумму S, и эта сумма н е р а в н а сумме ряда (44) (ибо S ^ O ) . Мы видим, что перестановка членов сходящегося ряда может изменить его сумму. Исследуем затронутый вопрос, ввиду его большого методологического интереса, подробнее. Оказывается, что для п о л о ж и т е л ь н ы х рядов переместительный закон сохраняется. Т е о р е м а 1. От перестанов/си членов сходящегося положительного ряда сходимость его не нарушается, а сумма не меняется. г ) Состав й-й скобки таков: —г — -гг^—г? — i . Действительно, Аг-е нечетное натуральное число есть 2k—1« a 2ft-e четное есць 4&