* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
РЯ£Ы
441
сходится (это следует хотя бы из теоремы Лейбнице),, но ряд, со ставленный из абсолютных величин, будучи гармоническим, расхо дится. Таким образом, требование сходимости ряда (40) представляет собой более тяжёлое требование, чем требование сходимости ряда (39). В связи с этим такой ряд (39), который не только схо дится сам, но для которого сходится и ряд абсолютных величин, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (39) сходится, но ряд (40) расходится, то говорят, что (39) есть ряд неабсолютно сходящийся. Из приведённого доказательства теоремы 1 вытекает справедли вость и такого предложения: Т е о р е м а 2. Если ряд (39) сходится абсолютно, то схо дятся также ряды (41) и (42), образованные положительными членами и модулями отрицательных членов этого ряда. Суммы всех трёх рядов связаны соотношением
А = В — С
(43)
Признак сходимости Даламбера переносится в теорию рядов с членами любых знаков в следующей форме: Т е о р е м а 3. Пусть ряд (39) такое, что существует предел Hm
Л-+0О
«л
I
Если / < М , то ряд сходится, а если 1^>\, то расходится. Действительно, если то. по признаку Даламбера будет сходиться ряд абсолютных величин членов данного ряда, а значит, и подавно и сам ряд (39). Если же / ^ > 1 , то найдётся такое т, что при п^т будет
Р±Ч>1.
Но тогда
|aj<|a
m + 1
]<|a
m + a
]<...,
и общий член ряда (39) не стремится к нулю, откуда вытекает расходимость этого ряда. Примеры применения этой теоремы будут приведены ниже. 38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов. Мы уже говорили выше, что с чисто формальной точки зрения ряды — это не что иное, как суммы, содержащие бесконечное множество слагаемых. Далее отмечалось, что этой формальной точке зрения не следует придавать слиш ком большого значения. Хорошей -иллюстрацией к этому замечанию может служить вопрос о перестановке членов ряда. Одним иэ самых основных законов арифметики является переместительH it закон: «сумма не зависит от порядка слагаемых». Оказывается, что для bf бесконечных рядов этот закон уже неверен! Покажем это на следующем "римере.
