* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РЯДЫ 437 общий признак был предложен известным русским математиком, профессором Киевского университета В. П. Ермаковым (1845—1922). В заключение докажем одно простое, но важное свойство поло­ жительных рядов, которое будет использовано ниже. Т е о р е м а 4. Если в сходящемся положительном ряде вы­ черкнуть любое множество членов и составить ряд из оставшихся членов, оставляя их в том же порядке, что и в исходном ряде, то вновь полученный ряд также будет сходиться. Действительно, пусть положительный ряд • а 1+ в + а д зН-Л + ... 4 (34) сходится и имеет сумму S. Рассмотрим последовательность натуральных чисел n i <С а С з С- e e Л < и < # и образуем ряд «*i+ i4 + iii + --V < > 35 Теорема утверждает, что ряд (35) сходится. Чтобы доказать это, обозначим через S и SJ частичные суммы рядов (34) и (35): n Легко видеть, что Отсюда следует, что Sl^S, а потому ряд (35) сходится. 36. Знакочередующиеся ряды. Переходя к рассмотрению рядов, члены которых уже не обязательно положительны, остановимся сначала на одном важном частном типе этих рядов — на рядах з н а к о ­ ч е р е д у ю щ и х с я , теория которых сравнительно проста. О п р е д е л е н и е . Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков. Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем теперь обозначать через а не сам общий член ряда, а его абсо­ лютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что пер­ вый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме *) п а 1 а Ч ~Ь Ъ а Л 4 ~Ь а В ••• (36) Т е о р е м а Л е й б н и ц а . Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится. ) Строго говоря, введение этой записи представляет новое соглашение, ибо согласно определению ряда мы должны вместо (36) писать 1